等差数列，高斯提出的数学数列

公式

定义式

对于数列 ，若满足：

则称该数列为等差数列。其中，公差d为一常数，n为正整数。

通项公式

等差数列通项公式通过定义式叠加而来。

如果一个等差数列的首项为a1，公差为d，那么该等差数列第n项的表达式为：

或：

等差数列遵守 的形式，可规定，若b为数列的0项，则记为a0，k为数列的公差，记为d，y为通项公式，记为an，则：

对应的求和数列为： ，其中 正整数。

求和公式

若一个等差数列的首项为a1，末项为an那么该等差数列和表达式为：

即。

前n项和公式

注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）。等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为a1首项，下底为，高为n。即：，也可写成：

推论

（1）从通项公式可以看出，的一次函数或常数函数)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数()或一次函数，且常数项为0。

（2）从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：，(类似：)，

（3）若，且，则有成等差数列，等等。若。

证明：

（4）其他推论：

等差中项

等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项。等差数列中，等差中项一般设为A(r)。当成等差数列时，，所以A(r)为等差中项，且为数列的平均数。并且可以推知，且任意两项a(m)、a(n)的关系为：，(类似，相当容易证明，它可以看作等差数列广义的通项公式。

等差数列的应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有。则。

其实，中国古代南北朝的张丘建早已在《张丘建算经》提到等差数列了：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。这相当于给出了的求和公式。

基本性质

（1）数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成 + 的形式(其中a、b为常数)。

（2）在等差数列中，当项数为时， ；当项数为(）(n∈正整数)时， （中） ，。（3）若数列为等差数列，则， ， ，…仍然成等差数列，公差为。

（4）若数列{an}与{bn}均为等差数列，且前n项和分别是Sn和Tn，则 = 。

（5）在等差数列中，

（6）记等差数列的前n项和为S。①若，公差，则当时，S 最大；②若，公差，则当时，S 最小。

（7）若等差数列则。

等差数列的判定

（1）(d为常数、）[或d是常数]等价于{a(n)}成等差数列。

（2）等价于{a(n)}成等差数列。

（3） 等价于{a(n)}成等差数列。

（4）等价于{a(n)}为等差数列。

特殊性质

在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和；特别的，若项数为奇数，还等于中间项的2倍,

即，中

例：数列：1，3，5，7，9，11中 ; 即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等。并且等于首末两项之和。

数列：中 ; 即，若项数为奇数，和等于中间项的2倍，另见，等差中项。

例题

在等差数列 中，

(1)已知，求 与d；

(2)已知，求。

解答：