乘法公式，数学公式之一

公式

• 完全平方公式及其变式。即变式。即• 平方差公式。即• 立方和（差）公式。即• 完全立方公式及其变式。即变式。即• 三数和平方公式。即• 多项式平方公式。即（对于四项而言）更高项的公式，用语言表述即：多项式的平方等于各项的平方和，加上每两项积的2倍。

• 欧拉公式。即• 平方和（差）、立方和（差）的一般情况即二项式定理。即

• 平方差、立方和公式的一般情况及其推论。即

设n为正整数，

类似地，推论。当n为正整数时，能被整除；能被整除；能被 及整除。这是不难看出的。当然，这不在乘法公式的范围之内。

例题

计算

I.（i）；

（ii）；

（iii）.

分析。对于第（i）题，相乘的两个二项式，只要它们有一项完全相同，另一项互为相反数，就符合平方差公式。相乘的结果是相同项的平方减去相反项的平方。第（i）题的相同项是，相反项是。

第（ii）题可以按第（i）题的方法计算，也可以先改变第二个因式的符号再运算。

第（iii）题虽然不能直接运用平方差公式计算，但认真观察两个二项式中的相同项和相反项，就不难分组转化成平方差公式的结构形式。

解答。（i）原式

（ii）原式

（iii）原式

II. 己知， 求（i）；（ii）；（iii） ；（iv） 。

解答。（i） 。

（ii）。

（iii）。

（iv）

。

证明

I. 求证。四个连续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。

证明。设这四个数分别为 。（为整数）

。

是整数，整数的和，差，积，幂也是整数。是整数。

II. 求证。能被7整除。

证明。 。

能被整除，

能被整除。

能被7整除。