多边形内角和定理，几何定理规律

多边形内角和

已知

已知正多边形内角度数则其边数为：360°÷（180°－内角度数）

推论

多边形内角和定理任意正多边形的外角和=360°

正多边形任意两条相邻边连线所构成的三角形是等腰三角形

多边形的内角和

定义

〔n-2〕×180°（n为边数）

多边形内角和定理证明

证法一：在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形.

因为这n个三角形的内角的和等于n·180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°

所以n边形的内角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n为边数）

即n边形的内角和等于（n-2）×180°.（n为边数）

证法二：连结多边形的任一顶点A1与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n-2）个三角形.

因为这（n-2）个三角形的内角和都等于（n-2）·180°（n为边数）

所以n边形的内角和是（n-2）×180°.

证法三：在n边形的任意一边上任取一点P，连结P点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n-1）个三角形，

这（n-1）个三角形的内角和等于（n-1）·180°（n为边数）

以P为公共顶点的（n-1）个角的和是180°

所以n边形的内角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.（n为边数）

重点：多边形内角和定理及推论的应用。

难点：多边形内角和定理的推导及运用方程的思想来解决多边形内、外角的计算。

教学

1．复习四边形、凸多边形及有关概念。

2．通过实例引入多边形、凸多边形及明关概念。

⑴举出生活中多边形的实例；

⑵类比定义多边形式、凸多边形的概念，并指出如果

没有特别说明，多边形一般指凸多边形；

⑵ 将四边形的有关概念逐项扩展到多边形情况，如顶

点、边、内角、对角线表示方法等；图 4-10

⑷简单练习，巩固多边形的表示方法及有关元素的辨认。

探索推导

1．提出问题。

由三角形内角和为180°，四边形内角和为360° ，猜想多边形的内角和度数与边数有关。具体是什么关系？

2．启发学生猜想证明的思路。

⑴复习四边形内角和定理的证明过程，强调把四边形分割成三角形，从而“把四边形内角和转化为三角形内角和来研究”这种化归的思想。

⑵引导学生类比联想，用化归的思想和从特殊到一般的方法研究五边形、六边形、七边形……的情况。

①教师应帮助学生分析出解决问题的关键是多边形分割转化成有公共顶点的三角形的方法，以及割成三角形的个数与多边数的关系；

②引导学生认识分割方法的多样性（见设计说明），选择其中较为简单并引导大部分学生认识过程的分割方法，推导五边形、六边形……的情况，归纳出n边形内角和的结论。

3．得到定理：n边形的内角和等于（n-2)·180°。

说明：⑴多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关；

⑵强调凸多边形的内角a的范围：0°u003cαu003c180°。

练习

例1⑴22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的

每个外角度数是多少？

⑴ 几边形的内角和是八边形内角和的2倍？

⑷已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求边数。

分析：

①引导学生利用方程的思想，根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解；

②对于利用多边形内角和公式反求边数的题目，需注意：只有求出的边数n是大于2的正整数时，问题才有解；

③灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算。

例2 ⑴已知多边形的每个内角都是135°，求这个多边形的边数；

⑵每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数。

分析：

①每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为（n-2)·180°/n，从而利用360°/n，利用这两点就可以列出关于边数n的方程，其中第二种方法较为简单。

②对于第⑴题，可将“每个角都是135°”转达化为“每个外角都为45°”，从而利用360°/n=45°，得出n的值为8。

③若设边数为n，则方程为（n-2)·180°/n=9×360°/n得出n=20。

（选用）例3 ⑴某多边形除一个内角a外，其余内角的和是2 750°。求这个多边形的边数。

⑵已知n边形恰有四个内角是钝角。这种多边形共有多少个？其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？

分析：利用多边形每个内角a的范围，0°u003cαu003c180°，以及题目所提供的角度关系列不等式解决问题。

解：⑴由题意得（n-2)·180°=α+2 750°，∴α=（n-2)·180°-2 750°。

又∵0°u003cαu003c180°，∴0°u003c；（n-2)·180°-2 750°u003c180°，

∴17 5/18u003cnu003c18 5/18。

因此这个多边形为18边形。

⑵设四个钝角分别为α，β，γ，δ。则

∵360°u003cα+β+γ+δu003c720°。

而另外n-4个内角都是直角或锐角，

∴（n-4）×0°u003c；其余（n-4）个内角的和≤（n-4）×90°，

∴360°u003c（n-2)·180°u003c720°+（n-4）×90°，

即360°u003c（n-2)·180°u003c720°+（n-4）×90°，∴4u003cnu003c8。

∵4u003cnu003c8的整数n有5，6，7三个，

∴这样的多边形共有三个，其边数最小的是五边形，边数最多的七边形。

补充练习：

1．几边形的内角和与外角和之比是7∶2？（答：9)

2．已知一个多边形的每个内角都是钝角，这样的多边形有多少个？每个内角都是锐角的多边形有多少个？是几边形？每个内角都是直角的多边形有几个？是几边形？（答：无数个；一个，三角形；一个，四边形）

3．多边形最多有几个外角是钝角？最多有几个内角是锐角？（答：3个；3个）