拆分数估计

拆分数估计定理

正整数n拆分成若干个正整数之和，其不同的拆分数用p(n)表示，{p(n)}的母函数为：

拆分数估计则拆分数估计可以表示为：

拆分数估计

证明

令

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根据马克罗林级数：

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所以：

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而

拆分数估计又由于

所以有下式成立：

拆分数估计因此有

拆分数估计所以

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但是

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所以

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设 有

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曲线y=lnx是向上凸的，所以曲线y=lnx在（1，0）的切线为y=x-1,即有 .

拆分数估计所以

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对于，令其一阶导，方程的解为

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又因为y的二阶导 ,所以y的极小值为

所以

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应用

1.一般情况下，p(n)的递推关系比较复杂，但很多情况我们往往不需要知道确切的拆分数，我们可以用拆分数估计定理来估计拆分数的上界；p(n)的渐进公式也是很多学者研究的课题。

2. 图论，组合论等领域中有广泛应用。