分式恒等式

基本介绍

两个代数分式与若对于所有(已知数域内)自变数值，均使恒等式成立，则称这两个代数分式为恒等的，即

任何代数分式都有和它恒等的既约分式 ，除分子分母的(在所设数域内的)数值公因子外，这既约分式（即“最简分式”）是唯一的。

分式恒等式的证明

分式恒等式的证明题，其证法常有：从左到右、从右到左、“左右开弓”(即证明左右两边都等于同一式子)，还有求差法(即证明)、求商法(即证、反证法及等价命题法等，对于左边复杂，右边简单，可考虑“从左到右”的证法；另外，对于一个含有未知数的等式，如果它不是方程(包括矛盾方程)那么它一定是恒等式(换句话说，就是：如果一个n次方程，有不只n个的未知数的值能使方程两边的值相等，那么它必是一个恒等式)，此法称为“反证法”。例如要证明恒等式

采用“反证法”证明的话，因为原式对于x来说至多是一个二次的等式，所以它若是x的方程的话，那么它至多有两个根，然而，当时，原式都成立，而a、b、c又互不相等，所以这个等式不是x的方程，而是x的恒等式。

【例1】求证：

分析

据此将原式变形后即可得证。

证明：左式=

【例2】求证：

分析 由

即可得证。

证明