非负数，正数和零的总称

定义

所谓非负数，是指零和正实数。非负数的性质在解题中颇有用处，常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根。

类型

实数的偶次幂

若是任意实数，则(n为正整数)，特别地，当时，有。

实数的绝对值

若是实数．则

性质：绝对值最小的实数是零。

算术根被开方数

是算术根，则。

性质：一个正实数的算术根是非负数，若是实数，则。

三个实数平方和与两两积之和的差

其他性质

①数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数。

②有限个非负数的和仍为非负数，即若为非负数，则。

③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若为非负数，且，则必有。

在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用得最多。

④非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数。

⑤最小非负数为零，没有最大的非负数。

⑥一元二次方程有实数根的充要条件是判别式为非负数。

应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数向有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决。

非负数的应用

利用非负数求代数式的值

例1已知．求值。

讲解 由题意解得。

代入代数式得

评注 本题利用绝对值和根式的非负数性质求解，比较容易简单。

利用非负数求最值

例2 已知为实数，求的最小值和取得最小值时的值。

讲解

因为为实数，所以，所以。

所以当时，有最小值2，此时。

评注 利用非负数求最值，需对问题条件进行变形，写成非负数形式是关键。

利用非负数求方程的根或个数

例3 确定方程的实数根的个数。

讲解 (方法一)将原方程化为，

即，

对于任意实数x，均有，

所以恒大于0，

故无实根。

(方法二) 利用判别式判断。

因为判别式小于零，所以无解。

评注 本题确定方程根的个数，首先判断方程类型尤其重要。