穿针引线法，用于解简单高次不等式的方法

释义

“穿针引线法”又称“数轴穿根法”或“数轴标根法”。

准确的说，应该叫做“序轴标根法”。序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。

当高次不等式（或）的左边整式、分式不等式（或）的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积的形式，可把各因式的根标在数轴上，形成若干个区间，最右端的区间、的值必为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。

为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线 从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。

用途

穿针引线法解高次不等式用于解简单高次不等式。

发明者

淮南三中一名老教师。于1983发表的一篇论文《数轴标根法解不等式》上介绍此法，便于解此类不等式。

使用步骤

第一步

通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0。（注意：一定要保证最高次数项的系数为正数）

例如：将化为

第二步

将不等号换成等号解出所有根。

例如：的根为：

第三步

在数轴上从左到右按照大小依次标出各根。

奇穿偶不穿例如：-1 1 2

第四步

画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根。

第五步

观察不等号，如果不等号为“u003e”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“u003c”，则取数轴下方，穿根线以内的范围。

例如：

若求的根。

在数轴上标根得：-1 1 2

画穿根线：由右上方开始穿根。

因为不等号为“u003e”则取数轴上方，穿根线以内的范围。即：或。

奇穿偶不穿：即假如有两个解都是同一个数字。这个数字要按照两个数字穿。如 两个解都是1 ，那么穿的时候不要透过1

可以简单记为秘籍口诀：或“自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”（也可以这样记忆：“自上而下，自右而左，奇穿偶回”或“奇穿偶连”）。

注意事项

运用序轴标根法解不等式时，常犯以下的错误：

问题一

穿针引线法出现形如的一次因式时，勿匆忙地“穿针引线”。

例1 解不等式

解，将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1可得原不等式的解集为。

事实上，只有将因式变为的形式后才能用序轴标根法，正确的解法是：

【解】原不等式变形为将各根－1、0、2、3依次标在数轴上，由图1，原不等式的解集为

问题二

出现重根时，机械地“穿针引线”。

例2 解不等式

解 将三个根－1、1、4标在数轴上，

原不等式的解集为。

这种解法也是错误的，错在不加分析地、机械地“穿针引线”。出现几个相同的根时，所画的浪线遇到“偶次”点（即偶数个相同根所对应的点）不能过数轴，仍在数轴的同侧折回，只有遇到“奇次”点（即奇数个相同根所对应的点）才能穿过数轴，正确的解法如下：

解 将三个根－1、1、4标在数轴上，画出浪线图来穿过各根对应点，遇到的点时浪线不穿过数轴，仍在数轴的同侧折回；遇到的点才穿过数轴，于是，可得到不等式的解集

问题三

出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”

例3 解不等式

解 原不等式变形为，有些同学同解变形到这里时，认为不能用序轴标根法了，因为序轴标根法指明要分解成一次因式的积，事实上，根据这个二次因式的符号将其消去，再运用序轴标根法即可。

解 原不等式等价于

，

∵ 对一切x恒成立，

∴ ，由图4可得原不等式的解集为