循环节，数学概念之一

研究背景

对一个大整数求倒数，用牛顿法可以快速达到很高的精度，但需要的空间很大。如果求一个数量级的质数p的倒数，其循环节长度有可能达到，没有一台计算机的内存能够储存整个循环节的数据。如果用普通的除法，只需储存余数，占用的内存不大，可却可能要计算次，不可能算完。则只要有循环节的长度就可以，不用输出循环节的内容，这种方法解决了这个问题。

另外，这个问题的另一种描述是：给定大整数n（可能是质数也可能是合数，且不知道这个数的分解形式），求最小的k使对，若n与a互素，求分母n的欧拉函数值.那么循环节长度k必是的约数；若n与a有公因子，显然无解。根据这个性质，对每个约数试验就可以了。

的求法：

设（pi为素数），那么。

因此求与将n因数分解密切相关，如果n有300位的话，对300位数分解是困难的。当然，以上只是对（a为与n互素的任意数）形式来讨论的。如果，可能有更好的办法。

事实上提出这个问题的初衷，是发现大数分解问题可以转化为求一个大数的倒数的循环节的长度

给定n，在RSA加密中，n肯定是两个质数的积。设，此时的循环节的长度l。

假定知道l的因数分解，，则l有个约数，将这些约数分别加上1，如果某个约数加一后是质数，则有可能是n的约数。对所有的进行检验，必能找到一个恰好满足。这一部分所用的时间应该不会很多，于是大数问题就转化为求的循环节长度l。

当然l也可能是一个很大的数，但对n为奇数的情况，l必为偶数。可以先除去所有因数2，甚至其他较小的素因子，得到l '，然后再用相同的办法求1/l '的循环节长度l(2)...。

即使在最坏的情况下，也有。因此一个300位的大整数，最多只需通过次转换，就可以完成分解。

表示方法

小数化分数分成两类：

（1）纯循环小数化分数，循环节做分子

连写几个九作分母，循环节有几位写几个九。例：0.3（3循环）=（循环节的位数有一个，所以写一个9）

（2）混循环小数化分数，小数部分减去不循环的数字作分子

连写几个9再紧接着连写几个0作分母，循环节是几个数就写几个9，不循环（小数部分）的数是几个就写几个0。例如，

判断

判断一个小数是否循环小数，其关键是首先判断这个小数是否无限小数，其次看这个小数的小数部分是否有重复出现的数字，但是如何正确判断小数部分重复出现的数字，可根据以下几点进行判断：

方法一：按照循环小数的意义来确定。即根据“一个无限小数，如果它的小数部分从某一位起，都是由一个或者几个数字依次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。”这一意义来确定循环小数的循环节。例如：，这个商就是一个循环小数，它的循环节是13。

方法二：可以用看余数的方法来确定循环小数的循环节。例如：。我们通过竖式计算可看出：余数“2”重复出现，商就重复出现，那么循环节就是从第一次出现余数“2”所得的商“2”。所以我们可以用看余数的方法来确定循环节。

小数

如是无限循环小数，可以简写为，它的循环节是35。