相反数，数值相反的两个数

含义

基本概念

相反数(opposite number)

1、相反数特性：若a.b互为相反数，则a+b=0，反之若a+b=0，则a、b互为相反数。

2、零的相反数是0。

3、相反数是成对出现，不能单独出现。

4、要把相反数“与”相反意义的量“区分开来，相反数”不但是数的符号相反，而且符号后面的数字必须相同，如同：+5与-5，而“具有相反意义的量”只要符号相反即可，如+3与-7。

5、求一个数的相反数只需这个数前面加上一个负号就可以了，若原数带有符号（不论正负），则应先添括号。

6、数字a的相反数是-a，-a的相反数是a。这里的a不一定是正数，所以-a也不一定就是负数。

例如：a=0时，则-a=0，即a=-a；

a﹤0时，则-a﹥0，即a﹤-a；

a﹥0时，则-a﹤0，即a﹥-a。

7、在化简多重符号时应注意：一个正数的前面有偶数个“-”时，可以化简为这个数字本身。

例如：-[-(7)]=7（按照有理数乘法法则，同号得正，异号得负。）

8、在化简多重符号时应注意：一个正数前面有奇数个“-”号时，可以化简成为这个数的相反数。

例如：-（7)=-7-{-[-(7)]}=-7

代数意义

和是0的两个数互为相反数，0的相反数还是0。

1、只有符号不同的两个数称互为相反数。a和-a是一对互为相反数，a叫做-a的相反数，-a叫做a的相反数。注意：-a不一定是负数。a不一定是正数。（a可以等于任何实数）

2、若两个实数a和b满足b=﹣a。我们就说b是a的相反数。

3、两个互为相反数的实数a和b必满足a+b=0。也可以说实数a和b满足a+b=0，则这两个实数a,b互为相反数

4、一个实数x的相反数y，实际上是R到R的一个映射：y=f(x)=-x。

从二维空间看，这个映射可以看作是旋转（180度）映射（圆心对称）；

这个映射也可以看作是翻折（180度）映射（轴对称）；

x=0，就是这个映射下的不动点。

几何意义

1、相反数的几何意义在数轴上，到原点两边距离相等的两个点表示的两个数是互为相反数。

补充第1条：这对相反数一定为绝对值。

2、在数轴上，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称。

3、此时，b的相反数为﹣b=﹣(﹣a)=a，那么我们就说“相反数具有互称性”；

注意“互为相反数”和“相反数”在概念上的区别。

互为相反数意义：只有符号不同的两个数叫做相反数。

相反数意义：把其中一个数叫做另一个的相反数。

初中教材中，“-”有两个含义，是减号和负号

现在，“-”有了新的含义，可以作为相反数符号。例如-3，可以读作：三的相反数；-a读作：a的相反数

规则

正数的相反数是负数，负数的相反数就是正数。

0的相反数是0，也就是0的相反数是它本身。同时，相反数是它本身的数只有0。无理数也有相反数。

互为相反数的两个数的商为-1（0除外）。

实数a相反数的相反数，就是a本身。

a-b和b-a互为相反数。

负数和0的绝对值是它的相反数。

虚数没有相反数。

相反数不具有传递性，即如果x是y的相反数，y是z的相反数，那么x不一定是z的相反数(除非x=y=z=0)。

如果您还不明白的话，请看下面几个例子：

非负数的相反数：0→01→-12→-23→-34→-4

非正数的相反数：0→0-1→1-2→2-3→3……………

无理数的相反数：π→-π

注解：

1、非负数又称非负有理数，习惯上我们将“正有理数和零”称作非负有理数。

2、非正数又称非正有理数，习惯上我们将“负有理数和零”称为非正有理数。

3、无理数是实数的一种，习惯上将无限不循环小数叫做无理数。

特殊相反数

实数的相反数的意义和有理数的相反数的意义是一样的。定义为只有符号不同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是-a。实数的a与b互为相反数，则a+b=0，反之也成立，反之a+b=0，则a,b互为相反数。

例如:-π+π=0-√2+√2=0-√5+√5=0

例题

有一道整式减法的题目，某学生把被减数和减数搞混，得到的结果是3x²-4”，请解出正确的答案。

被减数和减数搞混，得到的答案是正确答案的相反数，所以正确答案是-(3x-4)=-3x+4。

特殊情况

定义

若“+”符合结合律，则任意数的加法逆元是唯一的。

证明

相反数相反数相反数

反证法：设x有两个相异的加法逆元

有x=x+0的关系。

⇒

⇒

，产生矛盾，证讫。