黄金数

概念

黄金分割数是无理数，前面的10位为：

0.618033988

证明方法

设一条线段AB的长度为a，C点在靠近B点的黄金分割点上且AC为b

AC/AB=BC/AC

b^2=a×(a-b)

b^2=a^2-ab

a^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)×b^2

(a-b/2)^2=(5/4)b^2

a-b/2=（√5/2）×b

a-b/2=(√5)b/2

a=b/2+(√5)b/2

a=b(√5+1）/2

a/b=(√5+1）/2

黄金比例

历史发现

据传，这是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯的徒弟希伯斯所发现，后来古希腊哲学家柏拉图将此称为黄金分割。这其实是一个数字的比例关系，即把一条线分为两部分，此时长段与短段之比恰恰等于整条线与长段之比，其数值比为1.618：1或1：0.618，也就是说长段的平方等于全长与短段的乘积。0.618，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。为什么人们对这样的比例，会本能地感到美的存在？其实这与人类的演化和人体正常发育密切相关。据研究，从猿到人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，从而使人体美在几十万年的历史积淀中固定下来。人类最熟悉自己，势必将人体美作为最高的审美标准，由物及人，由人及物，推而广之，凡是与人体相似的物体就喜欢它，就觉得美。于是黄金分割律作为一种重要形式美法则，成为世代相传的审美经典规律，至今不衰！在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为 0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为 0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为 0.618）。

线段的黄金分割

1．设已知线段为AB，过点B作BC⊥AB，且BC=AB÷2；

2．连结AC；

3．以C为圆心，CB为半径作弧，交AC于D；

4．以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于P，则点P就是AB的黄金分割点。

事实上，在一个黄金矩形中，以一个顶点为圆心，矩形的较短边为半径作一个四分之一圆，交较长边与一点，过这个点，作一条直线垂直于较长边，这时，生成的新矩形（不是那个正方形）仍然是一个黄金矩形，这个操作可以无限重复，产生无数个黄金矩形。

黄金三角

名称定义

所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值；对应的还有：黄金矩形等。

黄金三角形

分类

黄金三角形分两种：

一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；这种三角形既美观又标准。这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：(√5-1)/2.

另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：(√5-1)/2.

特征

黄金三角形是一个等腰三角形，它的顶角为36°，每个底角为72°.它的腰与它的底成黄金比．当底角被平分时，角平分线分对边也成黄金比，并形成两个较小的等腰三角形．这两三角形之一相似于原三角形，而另一三角形可用于产生螺旋形曲线．

黄金三角形的一个几何特征是：它是唯一一种能够由5个与其全等的三角形生成其相似三角形的三角形。

把五个黄金三角形称为“小三角形”，拼成的相似黄金三角形称为“大三角形”。则命题可以理解为：五个小三角形能够不重叠又不超出地充满大三角形。要满足这种填充，必要条件之一是大三角形的每条边都可以由若干条小三角形的边相加而成。

根据定义，第一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5+1)/2的等腰三角形，顶角为36°，底角为72°。

设小三角形的底为a，则腰为b=(√5+1)a/2，因为大三角形的面积为小三角形的5倍。则大三角形的边长

为小三角形对应边长的√5倍，即大三角形的底为A=√5 a，腰为B=√5×(√5+1)a/2=(√5+5)a/2。

大三角形的腰B与小三角形边的关系满足：

B=2a+b

而大三角形的底A与小三角形边的关系可列举如下：

2abu003cAu003cb+a

可见大三角形底边的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超地来填充（图1）。故命题错。

另外一种黄金三角形是腰与底的比值为(√5-1)/2的等腰三角形，顶角为108°，底角为36°。

设小三角形的底为a，则腰为b=(√5-1)a/2。

同样可以证明：

u003ca href=#u003e

A=2b+a

2bu003cBu003c3b

au003cBu003cb+a

可见大三角形腰的邻近区域无法由小三角形不重叠又不超出地填充（图2）。故命题错。

事实上，勾为a，股为b=2a的直角三角形可以满足命题要求。

显然，弦c=√a2+b2 =√5 a

大三角形的对应边：

A=√5 a=c

B=2A=2c

C=√5×(√5a)=5a=2b+a

满足上述必要条件。是否成立还要验证，结果是对的（图3）。本三角形是否唯一满足命题还不清楚。

顶角36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍。顶角是108°的黄金三角形把顶角一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍。

黄金矩形

（1）躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；

（2）面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；

（3）鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；

（4）唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；

（5）（6）手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；

（7）（8）（9）（10）（11）（12）上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。

概述

人体中的黄金数

令人惊讶的是，人体自身也和0.618密切相关。对人体解剖很有研究的意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.618处。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。

（1）反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；

反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。0.618，作为一个人体健美的标准尺度之一，是无可非议的，但不能忽视其存在着“模糊特性”，它同其它美学参数一样，都有一个允许变化的幅度，受种族、地域、个体差异的制约。

（2）比例关系 是用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较。用同一人体的某一部位作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法。分为三组：系数法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%，身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。标准的面型，其长宽比例协调，符合三停五眼（见右图）。三停是指脸型的长度，从头部发际到下颏的距离分为三等分，即从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下颏各分为一等分，各称一停共三停；五眼是指脸型的宽度，双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外眦角到耳部各有一眼裂长度，其是五眼长度称五眼。

（3）角度关系 从不同的角度观察，所反映的人体形态也各不相同。Belt和Campen等人提出的侧角学说，就是通过角度来体现人体形体美的。其中Campen的学说是以鼻下点与耳孔点的直线连线为基准，来测量侧面观察时额头的倾斜角度的方法，这样可以把复杂的立体感的头部，用简单的轮廓线进行描述－被称为侧面定性分析方法。用连接鼻尖点和颏下点的直线来观察唇的突出度，评价面下部的美丑。鼻尖、下唇红前缘、颏下点在同一条直线上，称为Ricketts美学平面，是一种美的标志。

黄金点

（1）肚脐：头顶－足底之分割点；

（2）咽喉：头顶－肚脐之分割点；

（3）膝关节：肚脐－足底之分割点；

（4）肘关节：肩关节－中指尖之分割点；

（5）乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；

（6）眉间点：发际－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；

（7）鼻下点：发际－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；

（8）唇珠点：鼻底－颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；

（9）颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；

（10）左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；

（11）右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。面部黄金分割律 面部三庭五眼

（12）左肩关节：左手中指尖-右肩关节之分割点

（13）右肩关节：右手中指尖-左肩关节之分割点

植物中的黄金数

研究发现植物中也蕴涵着黄金数。

植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形状随种而异，但它在茎上的排列顺序(称为叶序)，却是极有规律的。

你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成137.5°角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度数。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！

叶子间的137.5°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是 360°，

360°-137.5°=222.5°

137．5°：222.5°≈0.618。

瞧，这就是“密码”！叶子的精巧而神奇的排布中，竟然隐藏着0.618。

有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。

美学中的黄金数

19世纪中叶，德国心理学家费希纳曾经做过一次别出心裁的试验。他召开一次“矩形展览会”，会上展出了他精心制作的各种矩形，并要求参观者投票选择各自认为最美的矩形。结果以下四种矩形入选：

矩形 长×宽 宽与长之比

1．8×5 5:8=0.625

2．13×8 8:13=0.615

3．21×13 13:21=0.619

4．34×21 21:34=0.618

有趣的是，所得的四个矩形的长与宽，它们的比都接近于0.618。

在音乐中，乐曲的高潮一般也在全曲的0.618的位置。

应用

由于这样得出的0.618有许多极为宝贵的性质，因此，人们珍惜地称它为黄金数，称点C为黄金分割点，称这种分割为黄金分割。

黄金数0.618，如今已越来越多地被人们所认识，并被人们所利用。

▲古希腊帕台农神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。

▲高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发现，按0.618∶1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为0.618，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。

▲音乐家发现，二胡演奏中，千金分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。

▲只要留心，到处都可发现黄金数这位美的“使者”的足迹。运用于科学实验和工农业生产的优选法中的0.618法，还能给我们带来巨大的经济效益呢！黄金数0.618，真是一件造福人类的绚丽瑰宝！

▲希腊古城雅典有一座用大理石砌成的神庙，神庙大殿中央的女神像是用象牙和黄金雕成的。女神的体态轻柔优美，引人入胜。经专家研究发现，她的身体从脚跟到肚脐间的距离与整个身高的比值，恰好是0.618。不仅雅典娜女神身材如此美好，其他许多希腊女神的身体比例也是如此。人们所熟悉的米洛斯维纳斯，太阳神阿波罗的形象，海姑娘阿曼等一些名垂千古的雕像，都可以找到0.618的比值。

▲1483年左右，达芬奇画的一副未完成的油画，包围着圣杰罗姆躯体的黑线，就是一个黄金分割的矩形，当时达芬奇似乎有意利用这一黄金分割的比值。《检阅》是法国印象派画家舍勒特的一副油画，它的画杠结构比例也正是0.618的比值。英国画家斐拉克曼在名著《希腊的神话和传说》一书中，工绘有96幅美人图。每一幅画上的美人都妩媚无比婀娜多姿。如果仔细量一下她们的比例也都与雅典娜相似。

▲中国最古老的古琴，处处透着黄金分割的神奇，琴背两池，左龙右凤。控制琴弦发音的枢纽有三：轸，凫掌，凤嗉。琴有五弦，音有八度，琴节为徽。“以琴长全体三分损一，又三分益一，而转相增减”，全弦共有十三徽。把这些排列到一起，二池，三纽，五弦，八音，十三徽。多么奇妙的排列，恰是费波那奇数，而两个相邻斐波那契数列比率则越来越接近黄金分割率，是有意还是巧合？看来，中国古人对黄金分割的领悟与运用，与西方确有异曲同工之妙。

▲早在公元前五世纪，希腊建筑家就知道0.618的比值是协调，平衡的结构。古埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。古时候的一些神庙，在建筑时高和宽也是按黄金数的比来建立，他们认为这样的长方形看来是较美观。黄金律是建筑艺术必须遵循的规律。在建筑造型上，人们在高塔的黄金分割点处建楼阁或设计平台，便能使平直单调的塔身变得丰富多彩。

▲如果市场上有的电视屏幕主要有两种，一种是宽：长为3∶4的，另一种是9∶16的。这两个比值都很接近0.618，也就是因为黄金矩形是最美的。

▲黄金数还运用于化学制药中。如合成药物，不知道它在0~100℃之间的哪一个温度制得合成率最高，药效最好。很显然，一个个温度去试是不实际的。如果运用黄金数就简单多了。