直角三角形,有一个角为直角的三角形

更新时间:2022-10-15 09:10:41 阅读: 评论:0

图示

直角三角形如图所示:分为两种情况,有普通的直角三直角三角形角形,还有等腰直角三角形(特殊情况)在直角三角形中,与直角相邻的两条边称为直角边,直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长,短的那条边叫作“勾”,长的那条边叫作“股”。

判定定理

等腰直角三角形是一种特殊的三角形

等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质:具有稳定性、内角和为180°。两直角边相等,两锐角为45°,斜边上中线、角平分线、垂线三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。

特殊性质

它除了具有一般三角形的性质外,具有一些特殊的性质:

1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如图,(勾股定理)

2、在直角三角形中,两个锐角互余。如图,若

3、直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点,外接圆半径R=C/2)。该性质称为直角三角形斜边中线定理。

4、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

5、如图,Rt△ABC中,,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:

直角三角形(1)。

(2)。

(3)。

射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。是数学图形计算的重要定理。

6、在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°。

证明方法多种,下面采取较简单的几何证法。

先证明定理的前半部分,Rt△ABC中,

∴(直角三角形两锐角互余)

取AB中点D,连接CD,根据直角三角形斜边中线定理可知

∴△BCD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)

再证明定理的后半部分,Rt△ABC中,

取AB中点D,连接CD,那么(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)

又∵

7、如图,

在Rt△ABC中,AD是斜边上的高,则:

证明:

两边乘以2,再平方得

运用勾股定理,再两边除以 ,最终化简即得

性质8:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

判定方法

判定1:有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2:若,则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)。

判定3:若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半,则这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定4:两个锐角互为余角(两角相加等于90°)的三角形是直角三角形。

判定5:若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数,则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。

判定6:若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半,那么这个三角形为直角三角形。参考直角三角形斜边中线定理

判定7:一个三角形30°角所对的边等于某一邻边的一半,则这个三角形为直角三角形。

判定3和7的证明:

已知△ABC中,,∠A,∠C对的边分别为a,c,且

证法1:

正弦定理,在△ABC中,有

将a与c的关系及∠A的度数代入之后化简得

又∵

证法2

反证法,假设,过B作于D

在Rt△ABD中,∵

∴(30°的直角边等于斜边的一半)

又∵

但BD是B到直线AC的垂线段,根据垂线段最短可知,从而出现矛盾。

(或从得,那么△ABC中就有两个直角,这是不可能的事情)

∴假设不成立,

证法3

利用三角形的外接圆证明

作△ABC的外接圆,设圆心为O,连接OC,OB

∵,A在圆上

∴△BOC是等边三角形,

又∵

∴AB是直径

∴(直径所对的圆周角是直角)

基本简介

等腰直角三角形的边角之间的关系:

(1)三角形三内角和等于180°;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和;

(3)三角形的一外角大于任何一个和它不相邻的内角;

(4)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

(5)在同一个三角形内,大边对大角,大角对大边.

等腰直角三角形中的四条特殊的线段:角平分线,中线,高,中位线.

(1)三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心,它是三角形内切圆的圆心,它到各边的距离相等.

(三角形的外接圆圆心,即外心,是三角形三边的垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等).

(2)三角形的三条中线的交点叫三角形的重心,它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。

(3)三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

(4)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。

(5)三角形的一条内角平分线与两条外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁心。

注意:

①任意三角形的内心、重心都在三角形的内部 .

②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。

(直角三角形的垂心为直角顶点,外心为斜边中点。)

④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

⑤任意三角形的旁心一定在三角形的外部。

相关线段

中线:顶点与对边中点的连线,平分三角形。

角平分线:平分三角形一内角的线段。

高线:三角形中一顶点向对边作的垂线

勾股定理

勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为A,B,斜边为C,那么即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。如果三角形的三条边A,B,C满足;,还有变形公式: ,如:一条直角边是a,另一条直角边是b,如果a的平方与b的平方和等于斜边c的平方那么这个三角形是直角三角形。(称勾股定理的逆定理)直角三角形由毕达哥拉斯在公元前550年提出。

应用举例

如图1,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点

立柱为BC,DE垂直于横梁AC,,求BC、DE要多长?

解:∵

∵点D是AB的中点,

斜边公式

(一)已知两条直角边的长度,可按公式:计算斜边。

(二)如已知一条直角边和一个锐角,可用直角三角函数计算斜边。

直角三角形ABC的六个元素中除直角C外,其余五个元素有如下关系:

例:角A等于30°,角A的对边是4米,计算斜边C是多少?

查表

三角函数

三角函数值除了查表,也可以用电脑系统自带的计算器,计算。

开始——程序——附件——计算器。这个计算器有两种模式,点‘查看’有一个下拉菜单,有标准型和科学型,选择科学型,输入度数后正弦点sin,余弦点cos,正切点tan,值就直接显示出来了。

这里有一个度和度分秒转换的问题。如 18.69度,其中整数18就是18°,那么,用这里整数41就是41分,再

再用这个24就是秒。

也可以用计算器直接转换:输入度数18.69——钩上Hyp——再点dms

就显示出18.4124,这就是18度41分24秒。

如要转换回去就输入18.4124——钩上Inv——再点dms,就转换了。

有一点请注意,显示度分秒时,小数点后面是一位数或三位数如:

15.3; 15.302,应读作15度30分;和15度30分20秒。

解直角三角形

含义:一般地,直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即3条边和2个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出未知元素的过程,叫做解直角三角形。

1.三条边的关系:

2.归纳

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程:

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