群，数学中的概念

定义

若集合，在G上的二元运算（该运算称为群的乘法，其结果称为积）构成的代数结构，满足：

1.封闭性：即G的任意两个元素在下的运算结果都是该集合的一个元素。（，）。

2.结合律：，；

3.单位元：G中存在元素e，使G中任一元素a与之相乘（包括左乘和右乘）的结果都等于a本身。（，使，有）；

4.逆元：，，使得，称为a的逆元，记为。（逆元具有唯一性，即：由，可以推出）

则称为一个群，或乘法群。

在无歧义时，可将写成ab。

有时由于上下文的原因，群上的二元运算亦可称为加法，此时该运算通常记为+，群元素的运算也被记为如同的形式，而群也可被称为加法群。此种情况下，往往加法还有可交换的性质。

简单例子

例1

在普通乘法下是群。

证：1)封闭性：

2)结合律：成立

3)单位元：1

4)逆元素：1的逆元是1，-1的逆元是-1

例2

在的加法下是群.

证：1)封闭性：除以n的余数只能是，故封闭性成立

2)结合律：成立

3)单位元：0

4)逆元素：对任意元素a有，a的逆元

置换群

定义G为集合上所有双射的集合，并定义合成映射，这里是的任意元素。构成一个群，这个群被称为置换群，记为或。

例集合的三个元素置换群组成.

一般线性群

定义G为所有n阶实可逆方阵的集合，乘法为矩阵乘法，则构成一个群。

这个群称为一般线性群，记为。

性质

设是一个群，则

性质3,4,5,6的证明如下：

（3）根据定义4，使得。由于和b均为G中元素并且G关于乘法封闭，所以也在G中。令，则，因此方程在G中有解。

同理可证另一个方程在G中有解。

（4）若，则两边左乘，根据结合律即可得，同理可证右消去律。

（5）设b是的逆元，则。根据消去律可知。

（6）由封闭性易证。由于，所以是ab的逆元。根据逆元的唯一性可知结论成立。

注意：性质4的消去律虽然是由逆元的存在性以及单位元e的存在性证明的，但是不能将定义中的3：单位元的存在性和4：逆元的存在性替换为消去律。例如考虑正整数集以及通常意义下的乘法，在乘法下正整数集满足封闭性、乘法结合律和消去律，但显然无法构成一个群，因为除了单位元“1”以外所有元素都不存在逆元。

但是，如果将集合限定为有限集，则只要它满足封闭性、结合律和消去律，它就是一个群。

相关定义

半群

若一个非空集合G只满足群的定义中的（1）和（2），即满足封闭性和结合律，称这样的代数结构为半群。

阿贝尔群

若一个群满足交换律：对G的任意两个元素a,b，总有；

则称群为阿贝尔群，也称为加法群。

例如，群就是一个阿贝尔群；群和亦然。

同态

若对于两个群和，有映射满足以下条件：

对G中任意元素a,b，都有；

则称映射为群到群的同态。

如果映射为单射，则称为单同态。

如果映射为双射，则称为同构。

易证得，同态有如下性质：

其中是G的单位元，是H的单位元。

经典的同态有

是阿贝尔群到阿贝尔群的同态。

经典的同构有：

(1)

是正实数乘法群到实数加法群的同构。

(2)

其中，g是n的原根。

映射是到的同构。

共轭类

一般可以把中任意一个置换p分解为若干不相交的循环乘积。

P=(…)(…)….(…)

其中，设k阶循环出现的次数为,用表示，则中置换的格式为...。

例：(1)(23)(4567)的格式是。