康托展开

康托展开的公式

把一个整数X展开成如下形式：

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中，a为整数，并且0u003c=a[i] u003c=iu003c=n)

康托展开的应用实例

{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

代表的数字 1 2 3 4 5 6 也就是把10进制数与一个排列对应起来。

他们间的对应关系可由康托展开来找到。

如我想知道321是{1,2,3}中第几个大的数可以这样考虑：

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。 2*2!+1*1!+1*0!就是康托展开。

再举个例子：1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数：第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3! 第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个大数。

康托展开的代码实现

后文的PASCAL程序经检验可以正确工作，并指示出了一个简洁的计算方法，和前文的运算思路略有不同，不需要检验某数码是否使用过，只需检查第(n+1-i)位之后比第(n+1-i)位小的位的数量，将这个数量作为公式中的a[i]。(1u003c=iu003c=n)

并附此算法C++版本。

康托展开的代码（C++语言）

constint PermSize = 12;

longlong factory[PermSize] = { 0, 1, 2, 6, 24, 120,720, 5040, 40320, 362880, 3628800,39916800 };

longlongCantor(stringbuf) {

int i, j, counted;

longlong result = 0;

for (i = 0; i u003c PermSize; ++i) {

counted = 0;

for(j = i + 1; j u003c PermSize; ++j)

if(buf[i] u003e buf[j])

++counted;

result = result + counted *factory[PermSize - i - 1];

}

return result;

}

康托展开的代码（Pascal语言）

s为数组，用来存储要求的数，形如(1,3,2,4)。

n为 数组中元素个数。

fac[x]为x!

*function cantor:longint:;

*var

*　i,j,temp:integer;

*　num:longint;

*begin

*　num:=0;

*　for i:=1 to n-1 do

*　begin

*　temp:=0;

*　for j:=i+1 to n do

*　if s[j]

*　num:=num+fac[n-i]*temp;

*　end;

*cantor:=num+1;

*end;

康托展开的代码（C语言）

//参数int s[]为待展开之数的各位数字，如需展开2134,则s[4]={2,1,3,4}.long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};//阶层表

long cantor(int s[],int n)

{

long int i,j,temp,num;

num=0;

for(i=0;i

temp=0;

for(int j=i+1;j

if (s[j]

}

num+=fac[n-i-1]*temp;//(或num=num+fac[n-i-1]*temp;)

}

return (num+1);

}

康托展开的逆运算

例1 {1,2,3,4,5}的 全排列，并且已经从小到大排序完毕

(1)找出第96个数

首先用96-1得到95

用95去除4! 得到3余23

有3个数比它小的数是4

所以第一位是4

用23去除3! 得到3余5

有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5（4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个）

用5去除2!得到2余1

有2个数比它小的数是3，第三位是3

用1去除1!得到1余0

有1个数比它小的数是2，第二位是2

最后一个数只能是1

所以这个数是45321

(2)找出第16个数

首先用16-1得到15

用15去除4!得到0余15

用15去除3!得到2余3

用3去除2!得到1余1

用1去除1!得到1余0

有0个数比它小的数是1

有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）

有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）

有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）

最后一个数只能是2

所以这个数是1435

康托逆展开的代码（Pascal）

求n个数的全排列中第m大的组合：

{n在20+就需要用高精度来做}

program test_cator;

var

flag:array[1..20] of boolean;

a:array[1..20] of qword;

ans:array[1..20] of integer;

n:integer;

m,cator:qword;

temp:integer;

found:boolean;

i,j:integer;

function cal(x:integer):qword;

var

s:integer;

begin

cal:=1;

for s:=1 to x do

cal:=cal*s;

end;

begin

fillchar(flag,sizeof(flag),fal);

readln(n,m);

cator:=m-1;

for i:=(n-1) downto 1 do

begin

found:=fal;

a[n-i]:=cator div cal(i);

cator:=cator mod cal(i);

temp:=0;

j:=1;

while (ju003c=n) and (not found) do

if not flag[j] then

begin

inc(temp);

if temp=(a[n-i]+1) then

begin

ans[n-i]:=j;

found:=true;

flag[j]:=true;

end

el

inc(j);

end

el

inc(j);

end;

for i:=1 to n-1 do

write(ans[i],' ');

for i:=1 to n do

if not flag[i] then

begin

writeln(i);

halt;

end;

end.

​康托展开的代码（C语言）

long int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};

int hash[10]={0};

int cantor(int m,int n)

{

long int num=0,e;

int temp;

int i,j;int k;

int xp;

m=m-1;

for(i=n-1;iu003e0;i--)

{

temp=0;e=1;

xp=m/fac[i];

m=m%fac[i];

for(j=1;ju003c=xp+1;j++)

if(hash[j]!=0)

temp++;

if(hash[temp+xp+1]!=0)

for(j=temp+xp+2;ju003c=n;j++)

{

temp++;

if(hash[j]==0)

break;

}

for(j=1;ju003c=i;j++)

e*=10;

num+=(temp+xp+1)*e;

hash[temp+xp+1]=1;

for(k=1;ku003c=n;k++)

printf(%d ,hash[k]);

printf(n);

}

temp=0;

for(i=1;iu003c=m+1;i++)

if(hash[i]!=0)

temp++;

hash[temp+m+1]=1;

num+=temp+m+1;

return(num);

}

int main()

{

printf(%ldn,cantor(96,5));

system(pau);

return 0;

}

康托展开和逆康托展开的实现(Java)

康托展开：

int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};

int cantor(int[] a, int k) {

int i, j, tmp, num = 0;

for (i = 0; i u003c k; i++) {

tmp = 0;

for (j = i + 1; j u003c k; j++)

if (a[j] u003c a[i])tmp++;

num += fac[k - i - 1] * tmp;

}

return num;

}

逆康托展开：

int fac[] = {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};

int[] uncantor(int x, int k) {

int res[] = new int[9];

int i, j, l, t;

boolean h[] = new boolean[12];

for (i = 1; i u003c= k; i++) {

t = x / fac[k - i];

x -= t * fac[k - i];

for (j = 1, l = 0; l u003c= t; j++)

if (!h[j])l++;

j--;

h[j] = true;

res[i - 1] = j;

}

return res;

}