圆，一种几何图形

圆的定义

第一定义

在同一平面内到定点的距离等于定长的点的 集合叫做 圆（circle）。这个定点叫做圆的 圆心。

圆形一周的长度，就是圆的 周长。能够重合的两个圆叫 等圆，等圆有无数条对称轴。

圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

第二定义

平面内一动点到两定点的距离之比（或距离的平方之比），等于一个不为1的常数，则此动点的轨迹是圆。

证明：点坐标为(x,y)与(x,y)，动点为(x,y)，距离比为k，由两点距离公式。满足方程当k不为1时，整理得到一个圆的方程。

几何法：假设定点为A，B，动点为P，满足，过P点作角APB的内、外角平分线，交AB与AB的延长线于C，D两点由角平分线性质，角。由角平分线定理：，注意到唯一k确定了C和D的位置，C在线段AB内，D在AB延长线上，对于所有的P，P在以CD为直径的圆上。

圆的对称性

圆是轴对称图形，对称轴在过圆心的直线上，圆有无数条对称轴。

相关特点

径

1.连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做 半径，字母表示为r（radius）

2.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做 直径，字母表示为d（diameter）。直径所在的直线是圆的对称轴。

圆的直径

弦

1.连接圆上任意两点的线段叫做 弦（chord）.在同一个圆内最长的弦是直径。直径所在的直线是圆的对称轴，因此，圆的对称轴有无数条。

弧

1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）以“⌒”表示。

2.大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，所以半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧一般用三个字母表示，劣弧一般用两个字母表示。优弧是所对圆心角大于180度的弧，劣弧是所对圆心角小于180度的弧。

3.在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做 等弧。

角

1.顶点在圆心上的角叫做 圆心角（central angle）。

2. 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做 圆周角。圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。

圆周率

圆[一种几何图形]圆周长度与圆的直径长度的比值叫做 圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用字母 π表示，

计算时通常取近似值3.14。我们可以说圆的周长是直径的π倍，或大约3.14倍，不能直接说圆的周长是直径的3.14倍。

形

1.由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做 弓形。

2. 由圆心角的两条半径和圆心角所对应的一段弧围成的图形叫做 扇形（ctor）。

表示方式

圆—⊙ ；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；圆心—O；弧—⌒；直径—d ；

扇形弧长—L ；周长—C ；面积—S。

计算公式

圆的周长公式

圆的周长：圆周长的一半

半圆的周长

圆的周长公式推导（此方面涉及到弧微分）

设圆的参数方程为，

圆在一周内周长的积分

代入，可得

即

圆的面积公式

圆的面积计算公式：或 或

圆的面积求直径：

把圆分成若干等份，可以拼成一个近似的长方形。长方形的宽相当于圆的半径。

圆锥侧面积（l为母线长）

弧长角度公式

扇形弧长（θ为圆心角）（R为扇形半径）

扇形面积（L为扇形的弧长）

圆锥底面半径（r为底面半径）（n为圆心角）

扇形面积公式

R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长。

也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，如下：

（L为弧长，R为扇形半径）

推导过程:

位置关系

点和圆位置关系

①P在圆O外，则。

②P在圆O上，则 。

③P在圆O内，则 。

反之亦然。

平面内，点P(x,y)与圆的位置关系判断一般方法是：

①如果，则P在圆内。

②如果，则P在圆上。

③如果，则P在圆外。

直线和圆位置关系

①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的 割线。AB与⊙O相交，。

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的 切线，这个唯一的公共点叫做 切点。圆心与切点的连线垂直于切线。AB与⊙O相切，。（d为圆心到直线的距离）

平面内，直线与圆的位置关系判断一般方法是：

1.由，可得，（其中B不等于0），代入，即成为一个关于x的方程

如果，则圆与直线有2个公共点，即圆与直线相交。

如果，则圆与直线有1个公共点，即圆与直线相切。

如果，则圆与直线有无公共点，即圆与直线相离。

2.如果即直线为，即，它平行于y轴（或垂直于x轴），将化为，令，求出此时的两个x值x、x，并且规定，那么：

当或时，直线与圆相离；

当时，直线与圆相交。

圆和圆位置关系

①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。

②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为P，则结论：外离；外切；内含；

内切；相交。

圆的性质

⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理

① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式：　(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）。

④两相切圆的连心线过切点。（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AC与BD分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

（8）周长相等，圆面积比正方形、长方形、三角形的面积大。

相关定理

切线定理

圆[一种几何图形]垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：

（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。

（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理

从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

以下简述切线长定理的证明。

欲证，只需证。

设OC、OB为圆的两条半径，又

在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴（H.L）

∴，且，且。

切割线定理

切割线定理的证明：

圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点，则有

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则

证明：连接AT, BT

∵(弦切角定理)

(公共角)

∴(两角对应相等，两三角形相似)

则

即：

割线定理

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线。

与割线有关的定理有：割线定理、切割线定理。常运用于有关于圆的题中。

与切割线定理相似：两条割线交于p点，割线m交圆于两点，割线n交圆于两点，则。

如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，求证：

圆[一种几何图形]证明：连接AD、BC∵∠A和

∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得

又∵

∴

（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。）

∴

即

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

设在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC于点E，AB、CD交于E，求证：，，

连接OA、OB分别交⊙O于点A、点B

∵OA、OB是⊙O的半径

∴

∴是等腰三角形

∵

∴(等腰三角形三线合一)

∴

∴

弦切角定理

弦切角等于对应的圆周角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）

已知：直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。

求证：

证明：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵

∴

又∵

∴

又∵

∴

综上所述：

圆的方程

1、圆的标准方程：

在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是。

特别地，以原点为圆心，半径为r（）的圆的标准方程为。

2、圆的一般方程：

方程可变形为.故有：

（1）当时，方程表示以为圆心，以 为半径的圆；

（2）当时，方程表示一个点；

（3）当时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：

以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是（其中θ为参数）

圆的端点式：

若已知两点A（a,b）,B（a,b），则以线段AB为直径的圆的方程为

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆上一点M（a，b）的切线方程为

在圆（）外一点M（a，b）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为,

4、圆的三点式方程：过不共线的三点A(x,y),B(x,y),C(x,y)的圆的方程为

绘制方式

一般情况下可用圆规画出圆形，或用一段绳子，一头固定在地上，一头转，就能转出圆，绳子越长，圆越大。

用AutoCAD绘圆

在AutoCAD“绘图”下拉菜单中，列出了6种“圆”的绘制方法，简述如下：

（1）利用圆心和半径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（2）利用圆心和直径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（3）以两点确定直径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（4）以三点确定直径绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作；

（5）以确定半径与两个图形对象相切绘圆：用鼠标点取绘图命令，然后根据提示操作。

richtext控件绘圆

定义一个数组，该数组用来存储一个或多个坐标（Point）

然后按照以下步骤来实现

1 生成一个控件（如Label）,并调整相应的属性

2 在内存中建立一张临时的图像作为画布，使用GDI+等各种绘图，将图像绘制到画布上

3 将生成的控件Image或BackGroundImage属性值设定为步骤2生成的图像

4 使用RichTextBox1.Controls.Add方法，将控件添加进去（您可以指定它的坐标）

5 将当前已经添加的控件的坐标记录在数组中（如对应第1个数据）

6 添加RichTextBox1.Scroll事件代码，在该代码中，

圆过获取滚动条的值来计算已添加控件应该所在的位置

说明：控件可以通过代码生成（推荐）

该方法与网上流传的QQ聊天窗口内RichTextBox方法不同，

属于简单型

您务必要定义一个数组，用来参与ScrollBar滚动时，将目标控件重新定位

历史介绍

圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。

会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。

任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，但在实际运用中一般只取它的近似值，即.如果用C表示圆的周长：或.《周髀算经》上说周三径一，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现周三径一只是圆内接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆内接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆内接正3072边形的圆周率，。刘徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之（公元429-500年）在前人的计算基础上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数精确值，他还用两个分数值来表示圆周率：称为约率，称为密率。在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图（公元1573年）和安托尼兹才得到这个数值。如今有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后五万亿位小数了。