三弦定理

基本介绍

三弦定理三弦定理

用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系,

ABsin∠CAD +ACsin∠BAD= ADsin∠BAC。

证明如下；连BD、CD, 由圆的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP－CD·AP=0→同理→AC·BP－BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP－CD·AP)=0, AC(AC·BP－BD·AP)=0,两式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。

由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB/AP), →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) ·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→

(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC) ·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→

( AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=AD, 所以,

ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。证毕。

《三弦定理》是托勒密定理的一种特殊形式，但他的逆定理证明远比托勒密逆定理简单，因此广为流传。