三正弦定理，数学中的立体几何概念

定理概述

设二面角M－AB－N的度数为α，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成的角为β，和平面N所成的角为γ，则sinγ=sinβ·sinα（如图1）。

（注明：折叠角公式（又名：三余弦定理）以及三正弦定理的应用为立体几何的解题带来了许多方便。）

若已知二面角其中一个半平面内某直线与二面角的棱所成的角，以及该直线与另一半平面所成的角，则可以求该二面角的正弦值。三正弦定理（图一）

定理证明

如上图一，过C作CO⊥平面N于点O，过O作直线OB⊥二面角的棱于点B，连OA，CB，则易知△CAO，△CBO，△ABC均为直角三角形．

于是sinγ=sin∠CAO=CO/AC，sinα=sin∠CBO=CO/BC,sinβ=sin∠BAC=BC/AC

由此容易得出sinγ=sinβ·sinα

定理应用

如果将三正弦定理和三余弦定理联合起来，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！

例1　如图，已知 是正三棱柱，D是AC中点，若，求以 为棱，与 为面的二面角的度数（1994年全国高考理科数学23题）。

三正弦定理应用之例1题图三正弦定理应用之例1解答

例2　已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB= 时，求二面角P－AC－B大小（上海市1986年高考试题，难度系数0.28）。

三正弦定理应用之例2题图三正弦定理应用之例2解答

参见

三余弦定理