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数学杂志
Vbl.41(2021)
J.ofMath.(PRC)
No.3
关于相对Bousljield类和相对Bousfield等价关系
黄文林
(中国人民大学数学学院,北京100872)
摘要:本文研究了有限群的群代数上的有限生成模的相对Bousfleld类,定义了相对Bous丘eld
等价关系和相对Bousneld等价类,建立了群与子群的相对Bous矗eld等价类之间的对应关系.
关键词:群代数;相对Bousfield类;相对Bousfleld等价;相对投射
MR(2010)主题分类号:20C05;20C20中图分类号:0152.6
文献标识码:A文章编号:0255—7797(2021)03—0257—13
0引言
自上世纪70年代以来,Bousfield类及其结构问题已经发展成为拓扑学、代数几何、群与
代数的表示论等领域的共同研究课题[1-5|,Bousfield类是研究稳定同伦范畴、交换环上的导
出范畴、稳定模范畴等张量三角范畴的局部化子范畴及其分类问题的重要途径,特别地,有限
群的稳定模范畴的局部化子范畴就是它的Bousfield类[4].
有限群G的稳定模范畴StMod(庇G)及其满子范畴Stmod(后G)(全体有限生成的南G一
模的稳定范畴)是有限群表示论中十分重要的表示范畴.基于相对稳定范畴StmodH(七G),
Okuyama、Carlson和Peng等将有限群表示论中经典的相对子群日的投射推广为相对模y
的投射,利用Happel的方法相应地建立了更加广义的相对稳定范畴Stmody(庇G),并研究其
中的相对同调问题和上同调问题[6_1引.本文研究相对稳定范畴Stmodv(庇G)的Bous矗eld类
问题.
本文提出的相对y—Bous矗eld类融合了相对模y一投射问题和经典Bousfield类问题,事
实上,它既是相对模y一投射的推广,又是相对稳定范畴Stmod(忍G)上经典Bous矗eld类的推
广(注1.4).而且,从结构上看,相对y—Bous6eld类还与群代数的模上的张量积及其直和分
解问题紧密相关,而张量积的直和分解方法已经广泛运用到Green环的幂零元素、几乎可裂
序列、内平凡模、Dade群的结构、广义迹映射等问题的研究中去[11_1到.
作者着重研究了相对y—Bousfield类在模上的限制、诱导、张量诱导等运算下的包含关
系问题(定理1.14、定理1.15、定理1.16、定理1.19),以及利用相对y—Bousfield类定义了
模上的相对y—Bousfleld等价关系和相对y—Bous盆eld等价类,证明了在模上的限制和诱导
运算下仍保持相对y—Bousfleld等价关系问题(定理2.8、定理2.儿、定理2.12),并在子群是
强p一嵌入的情形下建立了群与子群的相对y—Bous盆eld等价类之间的一一对应(定理2.14、
推论2.151.这些结论综合、统一和推广了相对模y一投射和经典Bousfield类的若干结论
[4,5,6—10,17]
4收稿日期:2020—09—02接收日期:2020—10—27
基金项目:中国人民大学科学研究基金(中央高校基本科研业务费专项资金资助)(20xNED05)
作者简介:黄文林(1977_),男,湖北,副教授,主要研究方向:有限群表示论
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本文中,我们设定,p是一个素数,G是阶含有因子p的有限群,庇是特征为p的域,所有
的模均是有限生成的.本文的记号和术语,可参见文献[8],[15].
1相对Bousfield类
定义1.1【8]设y是(有限生成的)忌G一模,对于(有限生成的)庇G一模尬若存在(有限生
成的)忍G一模五使得M是张量尼G一模yox的(在模同构意义下的)直因子,则称M是相
对y一投射南G一模,或称M是y一投射的,记为M∈P(功,其中,P(功是全体相对y一投射
后G一模的类.
注1.2(1)对于G的子群E若y=Ind譬七,由[15,corollary4.3.8]知,P(功=P(Ind哥功
是全体相对日一投射南G一模的类;特别地,y=南G时,P(功=P(南G)=P(Indf忌)是全体投
射七G一模的类;
(2)对于任意昆G一模y,每个投射昆G一模P∈P(功,也即全体投射昆G一模都是y一投射
的:
(3)若pfdim%(y),由[12,cor01lary4.7]知,南Iyoy+,此时,P(y)=mod(岛G).
定义1.3设M是(有限生成的)庇G一模,记
<M>矿:={(有限生成的)忌G一模xlMox∈P(y))
称<M>v为有限群G上的忍G一模M的相对y—Bous矗eld类.
注1.4(1)显然,<M>y={(有限生成的)尼G一模xI在stmody(尼G)中Mox=o].,
并且,<M>v是stmody(忍G)的局部化满子范畴;
(2)<o>y=mod(忍G),并且对于任意忌G一模M,若pfdim%(y),则<M>y=mod(尼G);
(3)<忍>y=P(y),所以<尼>y恰是全体相对y一投射尼G一模的类,这表明本文中关于
相对BousIield类<M>v的结论在相对投射类P(y)情形都成立,从而本节结论涵盖了文献
『6—10]中关于相对投射的若干相应结论;
(4)<M>%G=<M>I。d#%,此时,<M>%G简记为<M>,并且<M>%G恰是稳定模范
畴stmod(尼G)的局部化满子范畴[4],这表明本文中关于相对y—Bousfield类<M>y的结论
在Bousfield类<M>情形都成立吣,17].
容易验证下面的性质1.5,证明此略.
性质1.5设M、Ⅳ、U和y是尼G一模;若M竺Ⅳ,U竺y,以及Ⅳ是相对y一投射
尼G一模,则
(1)<七>y∈<M>y∈<0>y;
(2)<y>y=mod(%G);
(3)<Ⅳ>y=mod(尼G);
(4)<M>y=<Ⅳ>y.
性质1.6设M、Ⅳ和y是七G一模,则
(1)<MoⅣ>y=<M>yn<Ⅳ>y;
(2)<MoⅣ>y三<M>yu<Ⅳ>y;
(3)<MoM>y=<M>y;
(41<M+圆M>v=<M>y.
证容易验证(1)、(2),下面证明(3)、(4).
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No.3黄文林:关于相对Bousfield类和相对Bousfield等价关系259
首先,由(2)知
<M4oMOM>y2<MOM>y2<M>v.
其次,注意到,
o_M三Hom(M,M)oM三M_o
是关于忌G一模典范态射的可裂短正合列,这里,s:m_1om;t:∑^omt_∑^(mi).所
以,MIHom(M,M)oM,由此,MIM+oMoM.
最后,再结合(1)知,<M>y2<M。oMoM>y.综合上述,(3)得证.
类似地,用(3)的证明方法可证明(4).
性质1.7设M和y是忍G一模,Qy(M)是M的相对Heller算子模[8],则
<M>y=<M+>y=<Q(M)>y=<Qy(M)>y
证首先,注意到M竺(M+)+,再结合性质1.5(4)、性质1.6(4),容易验证<M>y=
<M+>v.
其次,一方面,由[8,ction2]知,Q(M)lMoQ(忌),再结合性质1.6的(1)和(2)知,<Q(M)>y
2<M>y;另一方面,若忍G一模x∈<Q(M)>y,则Q(M)ox∈P(y),由[8,ction2]知,
Q(Mox)lQ(M)ox,
所以,Q(Mox)∈P(y),又由[8,ction2]知,MoxI(Q(Mox)oQ-1(Mox))os,这
里,s是一个投射忍G一模,由注1.2(2)知,s∈P(y),由此,Mox∈P(y),x∈<M>y,以及
<Q(M)>y∈<M>y;<M>y=<Q(M)>y得证.
最后,类似地,结合[8,Proposition3.6],用上述<M>y=<Q(M)>y的证明方法可以证
明<M>y=<Qy(M)>y.
性质1.8设M、U和y是艮G一模;若U∈P(y),则<M>c,∈<M>y;特别地,若
UIy,贝0<M>c,∈<M>y.
证一方面,若尼G一模X∈<M>u,则存在尼G一模y,使得MoX『Uoy;另一方
面,因为u∈P(y),所以存在忍G一模z,使得uIyoz;综合上述,MoxIyozoy,也即
X∈<M>y,由此证得,<M>u∈<M>y.
特别地,若uIy,显然u∈P(y),<M>u∈<M>y也成立.
性质1.9设M、U和y是忍G一模,则
(1)<M>uoy2<M>uu<M>y;
(2)<AZ>voy=<A彳>un<AZ>y.
证(1)由性质1.8得知,<M>u∈<M>u。y,以及,<M>y∈<M>u。y,所以,
<M>uoy2<M>uu<M>y;(1)得证.
(2)一方面,若x∈<M>un<M>y,则有忍G一模y和z,使得MoxIUoy,Mo
XIyoZ,又因为,
(Mox)I(Mox)+o(Mox)o(Mox),
所以,
(Mox)l(uoy)o(yoz)o(Mox)+,
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数学杂志Vbl.41
也即,x∈<M>u。y,这表叽<M>******@y2<M>un<M>y,另一方面,显然UOy∈
P(u),由性质1.8得知,<M>u。v∈<M>u,同理,<M>Ⅳ。y∈<M>y,所以,<M>u。v∈
<M>un<M>y;综合得知(2)成立.
性质1.10设M和y是尼G一模,则
<M>y=<M>v*=<M>vt。v=<M>n(v)=<M>nv(M)
证首先,因为yIy+oyoy,所以,y∈P(y+),结合性质1.8得知,<M>y∈<M>y+,对
称地,可以证明,<M>y2<M>y+,综上,<M>y=<M>y+得证.
其次,一方面,若庇G一模x∈<M>v,则存在七G一模y,使得Moxlyoy,又因为
yly+oyoy,所以MoxI(y4oy)o(yoy),这说明,x∈<M>vmov,由此,<M>y∈
<M>v+圆v;另一方面,注意到y+oy∈P(y),由性质1.8得知,<M>v+。v∈<M>v;综
上,<M>y=<M>y+。y得证.
再次,一方面,设y=Qo(y)oW,这里W是一个投射南G一模,由注1.2(2)知,w∈
P(Qo(y)),由此,y∈P(Qo(y)),再由[8,Section2]得知,Qo(y)『Q(y)oQ一1(y),也即,Qo(y)∈
P(Q(y)),结合性质1.8得知,<M>y∈<M>Q(y);另一方面,由[8,ction2]得知,Q(y)Iyo
Q(殆),由此,Q(y)∈P(y),再结合性质1.8得知,<M>n(v)垦<M>y,综合上述,<M>y=
<M>n(y)得证.
最后,类似地,结合[8,Proposition3.6],用上述证明<M>y=<M>Q(v)的方法还可以
证明<M>y=<M>nvfM).
设M、Ⅳ、U和y是南G一模,记:
<M>uo<Ⅳ>v:={xoylx∈<M>u,y∈<Ⅳ>v)
性质1.11设M、Ⅳ、U和y是艮G一模,则
<^Z>uo<Ⅳ>y∈<A彳oⅣ>uoy
证设x∈<M>u,y∈<Ⅳ>y,则Mox∈P(u),Ⅳoy∈P(y),也即,存在忍G一模
阢,鹏,使得
MoxIuo啊,Ⅳoylyo%.
所以,
(MoⅣ)o(xpy)1(uoV)o(啊o%)
也即,Xoy∈<MOⅣ>u。v,性质1.11得证
设M、Ⅳ、U和y是南G一模,记:
Hom(<M>u,<Ⅳ>y):={Hom(x,y)lx∈<M>u,y∈<Ⅳ>y]-
性质1.12设M、Ⅳ、U和y是忽G一模,则
Hom(<M>y,<Ⅳ>y)∈<Hom(M,Ⅳ)>H。。(u,y)
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No.3黄文林:关于相型堡竺兰塑!翌耋塑塑型里竺!堕!!皇笠笪苤墨!!!
证设x∈<M>u,y∈<Ⅳ>v,则Mox∈P(u),Ⅳoy∈P(y),也即,存在恐G一模
啊,%,使得
MoxIuo啊,Ⅳoylyo%.
那么,(M4ox)I(uo啊)+,也即,M4ox+lu+oⅥ?,由此,
(MoⅣ)4o(x+oy)l(U8oy)o(w彳o%).
所以。
Hom(M,Ⅳ)oHom(x,y)lHom(阢y)oHom(肌,%).
也即
Hom(x,y)∈<Hom(nz,Ⅳ)>H。。(c,,y),
所以
Hom(<M>v,<Ⅳ>v)∈<Hom(M,Ⅳ)>H。m(巩y),
性质1.12得证.
推论1.13设M和y是砖G一模,则End(<M>v)∈<End(M)>E。d(y)=<M>y
证由性质1.12、性质1.5(4)、性质1.6(4)和性质1.10可知推论1.13成立.
设G≥日,M和y是南G一模,记:
Res鲁(<M>y):={Res鲁(x)Ix∈<M>y).
定理1.14设G≥日,M和y是尼G一模,则
Res譬(<且∥>v)∈<Res鲁(M)>R。。嚣(y).
证设忍G一模x∈<M>y,则Mox∈P(y),也即,存在昆G一模y,使得MoxIyoy,从
而,
Res譬(M)oRes鲁(x)IRe8鲁(y)oRes鲁(y),
这说明,Res鲁(x)∈<Res鲁(M)>Res譬(y),由此,Res鲁(<M>y)∈<Res鲁(M)>Res譬(y)得证·
设G≥日,M和y是尼日一模,记:
Ind鲁(<Az>y):={Ind鲁(x)Ix∈<A彳>y)
定理1.15设G≥日,M和y是尼日一模,则
Ind暑(<』讶>y)∈<Ind鲁(』M)>I。d鲁(y)
证设后日一模x∈<M>y,则Mox∈P(y),也即,存在七日一模y,使得Moxlyo
y,从而Ind鲁(Mox)lInd署(Voy),所以,
Ind譬(Mox)oInd鲁(昆)lInd鲁(yoy)oIIld鲁(克)
又因为由【15,cor01lary4.3.8]得知,
jcGo%日(Mox)垡(忍Go%日M)◇x
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进一步得到
Ind鲁(Mox)oInd暑(尼)=(忍Gok日(Mox))o(忌Go%日忽)
型((后Go%圩M)ox)o(忌Go%日岛)
型(忍Gok日M)o(忍Go%日(尼ox))
垡Ind鲁(M)oInd譬(x).
类似地,
Ind鲁(yoy)oInd鲁(忌)竺Ind鲁(y)oInd鲁(y),
这说明,
Ind鲁(M)oInd鲁(x)IInd暑(y)oInd暑(y),
也即,Ind鲁(x)∈<Ind鲁(M)>I。d鲁(y).
综合上述,Ind鲁(<M>y)∈<Ind暑(M)>I。d鲁(y)得证.
定理1.16设G>日,M、Ⅳ、U和y是庇G一模,若<M>r,c<Ⅳ>¨则
<Res鲁(Az)>R。。嚣(u)∈<Res鲁(Ⅳ)>R。。譬(y)
证首先,设后日一模x∈<Res鲁(M)>R。。譬(u),由定理1.15知,
Ind鲁(x)∈<Ind暑(Res鲁(』M))>I。d鲁(R。。鲁(u))
由[15,corollary4.3.8]知,Ind暑(Res鲁(u))竺uoInd鲁(后),再结合性质1.5(4)和性质1.9(2)
知.
Ind鲁(x)∈<Ind鲁(Res暑(』M))>u。I。d嚣(%)∈<Ind鲁(Res鲁(』M))>u,
所以,
Ind暑(Res鲁(n巧))oInd暑(x)∈P(u).
其次,一方面,再由[15,corollary4.3.8]知,Ind鲁(Res暑(M))竺MoInd鲁(尼),所以,
Ind譬(Res鲁(M))oInd署(x)竺MoInd鲁(后)oInd譬(x)竺Mo(Ind鲁(南)oInd鲁(x))
另一方面,由[15,Theorem5.2.1]知,Ind鲁(尼ox)IInd鲁(忌)oInd蓦(x),综合得知,
MoInd鲁(x)∈P(u),Ind鲁(x)∈<M>u∈<Ⅳ>v.
最后,再由定理1.14知
Res鲁(Ind鲁(x))∈<Res鲁(Ⅳ)>R。。鲁(y).
然而,xIRes鲁(Ind譬(x)),所以,x∈<Res鲁(Ⅳ)>R。。鲁(y),也即,
<Res鲁(M)>R。。嚣(c,)∈<Res鲁(Ⅳ)>R。。鲁(y)得证.
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No.3黄文林:关于相对Bousfield类和相对Bousfield等价关系
推论1.17设G≥日,M、Ⅳ、U和y是南G一模;若M和Ⅳ是相对日一投射岛G一模,
则<M>u∈<Ⅳ>v,当且仅当<Res鲁(M)>Re8嚣(u)∈<Res鲁(Ⅳ)>R。。鲁(y).
证由定理1.16知必要性成立,下面证明充分性.
设X∈<M>u,则由定理1.14知,
Res譬(x)∈<Res鲁(A4)>R。。鲁(u),
也即,Res暑(x)∈<Res鲁(M)>Re。嚣(u)∈<Res鲁(Ⅳ)>R。。譬(y),再由定理1.15知,
Ind量(Res嚣(x))∈<Ind鲁(Res鲁(Ⅳ))>I。d嚣(R。。嚣(y)).
由此,
Ind蓦(Res譬(Ⅳ))oInd鲁(Res鲁(x))∈P(Ind譬(Res鲁(y))).
结合[15,Theorem5.2.1]知,
Ind鲁(Res鲁(Ⅳ)oRes暑(x))lInd鲁(Res鲁(Ⅳ))oInd暑(Res鲁(x)).
所以,
Ind暑(Res鲁(Ⅳ))ox竺Ind暑(Res鲁(Ⅳ)oRes暑(x))∈P(Ind鲁(Res鲁(y)))
=P(yoInd鲁(后))∈P(y).
然而,因为Ⅳ是相对日一投射尼G一模,所以,ⅣlInd暑(Res鲁(Ⅳ)),这意味着,
ⅣoX∈P(y),X∈<Ⅳ>v,<M>u∈<Ⅳ>y.
证毕.
推论1.18设G≥日,M、Ⅳ、U和y是后G一模;若日包含G的某个Sylowp一子群,
则<M>u∈<Ⅳ>v,当且仅当<Res鲁(M)>Res嚣(u)∈<Res鲁(Ⅳ)>R。。鲁(y).
证由推论1.17和[15,Proposition儿.3.5]知推论1.18成立.
设G≥日,M和y是七日一模,Indg日(M)是M的从日到G的张量诱导模,记:
Indg日(<Az>y):={Indg日(x)Ix∈<^z>y)
定理1.19设G≥日,M和y是忌日一模,则
Indg日(<』M>v)∈<Indg日(』w)>I。d基。(y)
证设尼日一模x∈<M>y,则Mox∈P(y),也即,存在尼日一模y,使得MoxIyoy.
设yoy=(Mox)①z,z是一个%日一模,那么,由[18,Proposition3.15.2]知,存在
尼G一模W,使得,
Indg日(yoy)=Indg日(Mox)oIndg日(z)ow
竺(Indg日(M)oIndg日(x))oIndg日(z)oW
垡Indg日(y)oIndg日(y).
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所以,
Indg日(M)oIndgH(x)IIndgH(y)oInd菩H(y),
也即,IndgH(x)∈<Ind函(M)>Indg日(y),从而
Indg圩(<M>y)∈<IndgH(M)>I。dg。(y)得证.
2相对Bousfield等价关系
定义2.1设y是(有限生成的)后G一模,对于(有限生成的)南G一模M和Ⅳ,若<M>y=
<Ⅳ>v,则称M与Ⅳ是相对y—Bousfield等价的,记为M孑Ⅳ.M所在的相对y—Bousfleld
等价类记为《M》y,(有限生成的)后G一模上的全体相对y—Bousfield等价类记为C(岛G)y.
注2.2(1)可以验证,相对y—Bousfield等价关系莎是南G一模上的一种等价关系,并
且,若M竺Ⅳ,则M孑Ⅳ,所以,相对y—Bous矗eld等价关系是庇G一模上的一种较模同构关系
弱的等价关系;
(2)设y=庇G,则相对y—Bous盆eld等价关系孑恰是Bousfield等价关系一,这表明本
文中关于相对y—Bous矗eld等价关系的结论在Bousfield等价关系情形都成立附,17];
(3)每个相对y—Bousfleld类<M>v对应着一个唯一确定的相对y—Bousfield等价类
《M》y,全体相对y—Bousfield等价类C(忌G)v从类别上对相对稳定范畴Stmodv(庇G)的
局部化子范畴进行分类,对局部化子范畴上的代数结构(例如,格结构)进行刻画.
性质2.3设M、Ⅳ、x、y是南G一模;若M孑Ⅳ、x孑y,则
(1)Mox万Ⅳoy;
(2)Mox移Ⅳoy.
证由性质1.6(1)易知(1)成立;容易证明(2)也成立.
性质2.4设x、M、Ⅳ和y是七G一模;若M孑Ⅳ,则
(1)x孑xox;
(2)xoM万xoxoⅣ.
证由性质1.6(3)可知(1)成立,再结合性质2.3(2)可知(2)成立.
性质2.5设M和y是庇G一模,则
M铲M+万Q(M)移Qy(M)
证由性质1.7易知性质2.5成立.
推论2.6设M、Ⅳ和y是%G一模,则
(1)M孑Ⅳ当且仅当M+孑Ⅳ+;
(2)M孑Ⅳ当且仅当Q(M)孑Q(Ⅳ);
(3)M孑Ⅳ当且仅当Qy(M)孑Qy(Ⅳ).
证由性质2.5可知推论2.6成立.
性质2.7设M、Ⅳ和y是尼G一模;若M孑Ⅳ,则
(1)M再Ⅳ;
(2)M万面Ⅳ;
(3)M而Ⅳ;
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No.3黄文林:关于相对Bousfield类和相对Bousfield等价关系265
(4)Mi而Ⅳ.
证由性质1.10可知性质2.7成立.
定理2.8设G≥日,M、Ⅳ和y是南G一模;若M孑Ⅳ,则Res吕(M)磊)Res吕(Ⅳ)
证显然,定理2.8是定理1.16的直接推论,可另证如下.
设x∈<Re8鲁(M)>Res鲁(v),那么,Res鲁(M)ox∈P(Res吕(y)),结合定理1.15知,
Ind鲁(Res鲁(A4)ox)∈P(Ind鲁(Re8鲁(y))),
一方面,由[15,corollary4.3.8]知,Ind鲁(Res譬(M)ox)竺MoInd鲁(x),所以
MoInd鲁(x)∈P(Ind鲁(Res暑(y))),
另一方面,再由[15,cor011ary4.3.8]知,Ind鲁(Res暑(y)ox)竺yoInd譬(忌),所以,
Ind譬(Res鲁(y))∈P(y).
由此,
MoInd譬(x)∈P(Ind鲁(Res鲁(y)))∈P(y)
综合上述,Ind暑(x)∈<M>y=<Ⅳ>v.
进一步,由定理1.14知,Res鲁(Ind量(x))∈<Rex譬(Ⅳ)>
