洛伦兹力问题及解题策略x

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洛伦兹力问题及解题策略
《磁场》一章是高中物理的重点内容之一.历年高考对本章知识的观察覆盖面大,几乎每个知识点都观察到,纵观历年高考试题不难发现,本质上单独观察磁场知识的题目很少,绝大多数试题的观察方式为磁场中的通电导线或带电的运动粒子在安培力或洛伦兹力作用下的运动,特别以带电粒子在洛伦兹力作用下在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题居多,重视于知识应用方面的观察,且难度较大,对考生的空间想象能力及物理过程、运动规律的综合解析能力要求较高.
从近十年高考物理对洛伦兹力问题的观察情况可知,近十年高考均涉及了洛伦兹力问题,并且1994年、1996年、1999年还以压轴题的形式出现,洛伦兹力问题的重要性因此可知一斑;自1998年以来,此类问题连续以计算题的形式出现,且分值居高不下,因此可知,洛伦兹力问题是高考命题的热点之一,可谓是高考的一道“大餐”.全国高考情况是这样,近来几年开始推行的春季高考及理科综合能力测试也是这样,甚至对此类问题有“一大一小”的现象,即一个计算题,同时还有一个选择题或填空题,故对洛伦兹力问题必定引起高度的重视.本文将对有关洛伦兹力问题的种类做一大体分类,并指出各样问题的求解策略.
一、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心、半径及周期
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圆心的确定:由于洛伦兹力指向圆心,依照F⊥v,只要画出粒子运动轨迹上的两点(一般是射入和射出磁场的两点)的洛伦兹力方向,沿两个洛伦兹力方向做其延长线,两延长线的交点即为圆心.
半径和周期的计算:带电粒子垂直磁场方向射入磁场,只受洛伦兹力,
将做匀速圆周运动,此时应有 qvB=m ,由此可求得粒子运动半径 R= ,周期
T=2πm/qB,即粒子的运动周期与粒子的速率大小没关.这几个公式在解决洛
伦兹力的问题时经常用到,必定熟练掌握.在实责问题中,半径的计算一般是
利用几何知识,常用解三角形的知识 (如勾股定理等)求解.
[例1] 长为L,间距也为L的两平行板间有垂直纸面向里的匀强磁场,如
图1所示,磁感强度为B,今有质量为m、带电荷量为q的正离子,从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场,欲使离子恰从平行板右端
飞出,入射离子的速度应为多少?
解析 应用上述方法易确定圆心 O,则由几何知识有
L2+(R- )2=R2
又离子射入磁场后,受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动,且有 qvB=m
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由以上二式联立解得 v=5qBL/4m.
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[例2]如图2所示,abcd是一个正方形的盒子,在cd边的中点有一小孔e,盒子中存在着沿ad方向的匀强电场,场富强小为E.一粒子源不断地从a处
的小孔沿ab方向向盒内发射相同的带电粒子,粒子的初速度为v0,经电场作用后恰好从e处的小孔射出,现撤去电场,在盒子中加一方向垂直于纸面的匀强
磁场,磁感觉强度大小为B(图中未画出),粒子仍恰好从e孔射出.(带电粒子的重力和粒子之间的互相作用力均可忽略)
判断所加的磁场方向;
求分别加电场和磁场时,粒子从e孔射出时的速率;
求电场强度E与磁感觉强度B的比值.
解析 (1)依照粒子在电场中的偏转方向,可知粒子带正电,依照左手定则
判断,磁场方向垂直纸面向外.
设带电粒子的电荷量为q,质量为m,盒子的边长为L,粒子在电场中沿
ad方向的位移为L,沿ab方向的位移为 ,在电场中,有 L= , =v0t
由动能定理 EqL=mv2- mv02
由以上各式解得 E= ,v= v0.
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在电场中粒子从 e孔射出的速度为
运动,所以从e孔中射出的速度为 v0.

v0,在磁场中,由于粒子做匀速圆周
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带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,在磁场中v=v0,轨道半径为R,依照牛顿第二定律得
qvB=m ,解出 R=
又依照图3所示的几何关系,应有
(L-R)2+( )2=R2
解得轨道半径为 R=L
故得磁场的磁感觉强度 B=
所以 =5v0.
二、带电粒子在磁场中的运动时间
带电粒子在磁场中做圆周运动,利用圆心角与弦切角的关系,只要想法求
出运动轨迹的圆心角大小,由 t= T也许t= T即可求出.
[例3]一束电子以速度v垂直射入宽为d的匀强磁场B中,穿出磁场时速度方向发生了60°的偏转,求电子穿出磁场所用的时间.
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解析 由几何关系,易求得本题电子在磁场中运动时的圆心角为 60°,而
非120°,则由图4,得r=
而电子在磁场中运动时满足
evB=m
故可得电子穿出磁场所用时间为
t= .
[例4]如图5所示一个质量为m电荷量为q的粒子从A孔以速度v0垂直AO进入磁感觉强度为B的匀强磁场并恰好从C孔垂直于OC射入匀强电场中,已知电场方向跟OC平行,OC⊥AD,OD=2OC,粒子最后打在D点(不计粒子重力).求:
粒子从A点运动到D点所需的时间t;
粒子抵达D点的动能Ek.
解析 (1)由题意可知,带电粒子在磁场中运动了 1/4圆周进入电场,则
R=OC=OD/2,这时有qv0B=m
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即R=
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而tB=T/4=
进入电场后,做类平抛运动,抵达 D点时,用时
tE=
故粒子从A点运动到D点所需的时间
t=tB+tE= m.
带电粒子在磁场中运动时洛伦兹力与速度方向垂直,所以不做功.而在
电场中运动时电场力要做功,即在整个运动过程中只有电场力做功,所以可用
动能定理求解.即有
qER=Ek- mv02
又在电场中 OC= ( )2= =R
即E=Bv0/2
故粒子抵达D点的动能E=
2
2
mv+qER=mv.
k
0
0
三、范围类问题
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所谓范围类问题,即问题所示的答案属于某一范围,如粒子运动速度的范围、磁场磁感强度的范围及带电粒子荷质比的范围等.在解这类问题时要谨慎考虑限制条件,防备解答的片面性.
[例5] 如图6所示,在铅板AB上有一个放射源 S,可向各个方向射出速
率v=2.04×107m/s的β射线.CD为荧光屏(足够大),AB、CD间距d=10cm,其中存在磁感觉强度×10-4T的匀强磁场,方向垂直纸面向里.已知β粒子的荷质比×1011C/kg,试求这时在竖直方向上能观察到荧光屏亮斑区的长度.
解析 粒子进入匀强磁场后,满足 qv0B=m ,则 R=
由于β粒子可向各个方向射出,简单看出向上方射出的 β粒子及向右方
射出的β粒子打在荧光屏上的地址P、Q之间即为亮斑区,这是求解本题之重点.由图7知PO=OQ,故在竖直方向上能观察到荧光屏亮斑区的长度为
PQ=2PO=2
=0.2≈.
四、复合场问题
所谓复合场,即重力、电场力、洛伦兹力共存或洛伦兹力与电场力同时存在等.当带电粒子所受合外力为零时,所处状态是匀速直线运动或静止状态,当带电粒子所受合力只充当向心力时,粒子做匀速圆周运动,当带电粒子所受合力变化且速度方向不在同素来线上时,粒子做非匀变速曲线运动.
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[例6]在某空间同时存在着互相正交的匀强电场和匀强磁场,电场的方向竖直向下,如图8,一带电体A带负电,电荷量为q1,恰能静止于此空间的a点;另一带电体B也带负电,电荷量为q2,正在过a点的竖直平面内做半径为r的匀速圆周运动,结果A、B在a外碰撞并粘合在一起,试解析以后的运动情况.
[解析] 设A、B的质量分别为m1、m2,B的速率为v,
对电荷A q1E=m1g
对电荷Bq2E=m2g,且Bq2v=m2
二者碰撞时系统动量守恒,有m2v=(m1+m2)v′,且此时总电荷量为q1+q2,总质量为m1+m2,显然仍有
(q1+q2)E=(m1+m2)g
故它们将以速率 v′在竖直平面内做匀速圆周运动,并且有
(q1+q2)v′B=(m1+m2)
由以上方程,可得 R=q2r/(q1+q2),此即碰撞后二者共同的运动半径.
[例7]有一电子束穿过拥有匀强电场和匀强磁场的空间地域,该地域的电场强度和磁感强度分别为E和B,如图9所示.
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若是电子束的速度为v0,要使电子束穿过上述空间地域不发生偏转,电场和磁场应满足什么条件?
若是撤去磁场,电场所区的长度为l,电场强度的方向和电子束初速度方向垂直,电场所区边缘离屏之间的距离为d,要使电子束在屏上偏移距离为y,
所需加速电压为多大?
解析 (1)要使电子不发生偏转,则应有电场力与洛伦兹力相等,即eE=ev0B,
则E=v0B.
(2)电子在电场中向上偏转量 s= t2,且tanθ= = ,而在加速电场
2
.
中,有eU=mv,且l=vt,又偏移距离y=s+dtanθ,解以上方程得U=
0
0
五、带电粒子在电磁场中的动向运动问题
顾名思义,在办理带电粒子或带电物体,在电磁场中的动向问题时,要正确进行物体的运动情况解析,找出物体的速度、地址及其变化,分清运动过程,注意正确解析其受力,此乃求解之重点.
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[例8] 如图10所示,套在很长的绝缘直棒上的小球,其质量为 m,带电
荷量为+q,小球可在棒上滑动,将此棒竖直放在互相垂直且沿水平方向的匀强
电场和匀强磁场中,电场强度是E,磁感强度是B,小球与棒的动摩擦因数为 μ,
求小球由静止沿棒下落的最大加速度和最大速度. (设小球带电荷量不变)
解析 小球的受力情况如图 10所示,且有
N=qE+qvB
所以F合=mg-μ(qE+qvB),显然随着v的增大,F合减小,其加速度也减小,即小球做加速度减小的变加速度运动,当a=0时,速度达最大值,故可解得
v=0时,am= =g-
a=0时,即mg-μ(qE+qvB)=0时,vm= .
六、极值问题
求极值是物理学中的一类重要问题,可以经过对物理过程正确解析反响学生解析问题的能力,一般地第一要建立合理的物理模型,再依照物理规律确定极端情况而求极值,此即所谓的物理方法求极值.自然依照需要也可以采用其他方法如几何方法、三角方法、代数方法等.
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[

例

9]

如图

11所示,真空的狭长的地域内有宽度为

d,磁感强度为

B的
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匀强磁场,质量为

m、电荷量为

q的带负电的粒子,从界线

AB垂直磁场方向以
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