排列组合基本题型方法.pdf

四.定序问题倍缩空位插入策略
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后
A7/A3
用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:73
A4
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有7种方法,其余的三个位置甲乙丙共有
A4
1种坐法,则共有7种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
(插入法)先排甲乙丙三个人,共有C3种选择,再排其余4四人共有A4方法
74
定序问题可以用倍缩法,还可转化为占位插
练****题:10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法?
C5
10
五.重排问题(谁选谁)求幂策略
例5.把6名实****生分配到7个车间实****共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实****生分配到车间有7种分法.把第二名实****生分配到车间也有7
种分依此类推,分步由计数原理共有76种不同的排法
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素
的位置,一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为mn种
练****题:
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入
原节目单中,那么不同插法的种数为42
2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78
六.元素相同问题隔板策略
例10.有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案?
解:因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6
C6
个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法共有9
种分法。
一二三四五六七
班班班班班班班
将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,
插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为Cm1
n1
练****题:
C4
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法?9
xyzw100C3
2.求这个方程组的自然数解的组数103
2
七.多排问题直排策略
例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
A2
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有4种,再排后4个位
A1A5A2A1A5
置上的特殊元素丙有4种,其余的5人在5个位置上任意排列有5种,则共有445种
前排后排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研
练****题:有两排座位,前排11个座位,后排12个座位,现安排2人就座规定前排中间的3个座位不
能坐,并且这2人不左右相邻,那么不同排法的种数是346
八.排列组合混合问题先选后排策略
例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
C2
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4
A4C2A4
个不同的盒内有4种方法,根据分步计数原理装球的方法共有54
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗?
练****题:一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任
务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种
九.小集团问题先整体后局部策略
例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的位数其中五恰有两个偶数夹1,5在两个奇数之间,这样的位五
数有多少个?
A2A2A2
解:把1,5,2,4当作一个小集团与3排队共有2种排法,再排小集团内部共有22种排法,由
A2A2A2
分步计数原理共有222种排法.15243
小集团排列问题中,先整体后局部,再结合其它策略进行处理。
练****题:
1.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一
A2A5A4
品种的必须连在一起,并且水彩画不在两端,那么共有陈列方式的种数为254
A2A5A5
2.5男生和5女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255种
十.正难则反总体淘汰策略
例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种?
解:这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇
C3C1C2
数,所取的三个数含有3个偶数的取法有5,只含有1个偶数的取法有55,和为偶数的取法共有
3
C1C2C3C1C2C39
555。再淘汰和小于10的偶数共9种,符合条件的取法共有555
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出
它的反面,再从整体中淘汰.
练****题:我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种?
十一.平均分组问题除法策略
例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?
C2C2C2
解:分三步取书得642种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF,若第一步
C2C2C2
取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则642中还有
A3
(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有3种取法,而这些分法仅是
C2C2C2/A3
(AB,CD,EF)一种分法,故共有6423种分法。
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An(n为均分的
n
组数)避免重复计数。
练****题:
C5C4C4/A2
1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法?(13842)
2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的
分组方法(1540)
3.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安
C2C2A2/A290
排2名,则不同的安排方案种数为______(4262)
十二.构造模型策略
例14.有上编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2
盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种?
C3
解:把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有5种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒
模型等,可使问题直观解决
练****题:某排共有10个座位,若4人就坐,每人左右两边都有空位,那么不同的坐法有多少种?(120)
十三.数字排序问题查字典策略
例18.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数?
N2A52A4A3A2A1297
解:54321
数字排序问题可用查字典法,查字典的法
应从高位向低位查,依次求出其符合要求
的个数,根据分类计数原理求出其总数。
练****用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数
是3140
4
十四.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要
求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
C2
解:从5个球中取出2个与盒子对号有5种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如果
剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号
2C2
盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有5种
534
3号盒4号盒5号盒
对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收
到意想不到的结果
练****题:
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的
分配方式有多少种?(9)
2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有72种
1
4
32
5
十五.化归策略
例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?
解:将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少
选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划,如掉此继续下去.从
C1C1C1
3×3方队中选3人的方法有321种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队
C3C3C3C3C1C1C1
中选取3行3列有55选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有55321选
法。
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简
要的问题,通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法,
从而进下一步解决原来的问题
练****题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路,B
C335
从A走到B的最短路径有多少种?(7)
A
5