定比分点典型例题.pdf

定比分点定理典型例题

例1.已知P外分BA的比为求点B分AP所成的比。

PA1BPAB1
错解:由BPPA,不妨设,则,,

AB1

BP
所以B分AP的比为。

AP

错因分析:错因是把定比理解为是分得的两线段的长度之比.实质上PB中

是有向线段AP与PB的数量之比.可以转化为有向线段的长度之比,但需加

APAP

PBPB
一个正负号,即P为AB的内分点时,当P为AB的外分点时,,
故求定比时一定要记住向量具有方向性.

正确解法:因P外分AB的比为,0.

PA1BPAB1
设,则,.又由于AB与BP反向,所以B分AP的比为

AB11
1
BP
.

P(2,1),P(4,3)PP
例2已知点12.求出下列情况下,点P分有向线段12所成的比
及P点的坐标:
3
PPPP
PP112
(1)点P在12上且4;

PPPP3PP
(2)点P在12的延长线上,且112;

PPPP3PP
(3)点P在12的反向延长线上,且212;
分析:本题主要考查向量定比分点公式的应用.要注意,起点、分点、终点是相对
而言的,起点、分点、终点不同时,一般是不同的.

PP3PP3
解(1)∵12
2347
x
132

13(3)
y2
由定比分点公式,得13
7
(,2)
所以P点坐标为2.
33
PPPP
(2)1222
3
2()4
x28
3
1()
2

3
1()(3)
y211
3
1()
2
所以P点坐标为(8,11).
22
PPPP
(3)1323
2
2()4
x32
2
1()
3

2
1()(3)
y39
2
1()
3
所以P点坐标为(2,9).
说明有关定比分点问题中的定比最好画出草图来确定.本题计算量大,容易
出现计算错误,如坐标公式中计算出现错误和定比计算错误等.本题也可以利

PPPP
用向量的坐标运算,由12代入坐标的方程组,求出分点P的坐标.这样可
不必死记定比分点坐标公式.
例3设ABCD的顶点A的坐标为(2,1),一组对边AB、CD的中点分别为
M(3,0),N(1,2),求其余顶点坐标.
分析:本题考查中点坐标公式及用向量方法解决问题的能力.
B(x,y),C(x,y),D(x,y)
解法1:设其余三个顶点的坐标分别为112233
2x
13
2

1y
10
M是AB的中点,2
x8
1B(8,1)
y1
1
有MN的中点P(1,1)且P是AC的中点,
2x
21
2

1y
21
2
x4
2C(4,3)
y3
2
4x
31
2x6
3
3yy1
323
由N为CD的中点,得2
所以顶点坐标分别为B(8,1),C(4,3),D(6,1)

解法2:设B点坐标为(x,y),则AMMB.
(5,1)(x3,y).
x35

y1
x8
B(8,1)
y1

同理由AMDNNC,得C(4,3),D(6,1)
所以ABCD其余顶点坐标为B(8,1),C(4,3),D(6,1).
说明利用线段的定比分点公式与向量式运算是相一致的.前者需要记忆,后者
需要思维的灵活性和深刻性,而不需记忆,要求较高.
1

例4已知三点A(0,8),B(4,0),C(5,3),D内分AB的比为3,E点在BC边上,且使
BDE的面积是ABC面积的一半,求DE中点坐标.
分析将面积转化为线段的比,利用定比分点坐标公式来求.
ABCh,h
解:设BDE边BE以及的边BC的高分别为1,

DB3
1h3
ADDBAB41
由已知有3,所以,h4
S1
BDE=,
S2
又ABC
1
BEh1
21
1
BCh2
2

BEh2

BC2h3
1

BE
2
EC
由点E在BC上

点E分BC所成的比为2
425
x2
E12

02(3)
y2
由定比分点坐标公式有E12
即E(2,2)
1
0(4)
3
x1
D1
1
3
8
y6
D1
1
又由3
即D(1,6)
2(1)1
x
22

26
y2
即线段DE的中点为M(x,y),则E2
1
M(,2)
2即为所求.
说明:线段比的平方等于面积的比.