常见的分类讨论问题解题策略
(仅供教师参考)
许多数学问题由于受某些因素的限制,例如概念的不同,位置的不同,范围的不同,性质的不同等,不能按统一的方法、统一的标准或同一的公式来进行处理,这就需要我们对所研究的对象进行分类,然后进行讨论.
分类讨论的思想法是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中,运用分类讨论思想可以将问题的条件和结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚,刻画得十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.
有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分,形式多样、综合性强,对于培养学生思维的缜密性、条理性、深刻性有着十分重要的作用.
▲引起分类讨论的因素:
(1)涉及的数学概念是分类定义的;
(2)涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的;
(3)涉及题中所给的限制条件或研究对象的性质而引起的;
(4)涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的;
(5)涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的;
(6)一些较复杂或非常规的数学问题,需要采用分类讨论的解题策略解决的.
在解题中,我们要明确分类的原因是什么?对象是什么?掌握好分类的原则,这被称之为逻辑划分.同时,我们有要把握好分类讨论的时机,重视分类讨论的合理性和完整性.
▲分类讨论的基本原则:
(1)按引起讨论的原因分类;
(2)不重复、不遗漏;即每一类均是定义域的真子集,任何两类的交集为空集,所有各类的并集为定义域;
(3)每一类中自变量的取值对结论的影响是相同的;
(4)分类应是最少的.
▲分类讨论的基本步骤:
(1)确定讨论对象和研究的全域范围;
(2)按照科学的分类原则进行分类;
(3)逐类进行讨论;
(4)归纳总结讨论的结果.
每当我们努力解决一个非常复杂的问题时,如果能出现一个非常惊人的转折:它把这各个复杂的问题分解为若干的部分,通过简单的方法就能轻而易举的解决了,这就是我们平时所讲的真正的一种数学美.它展现了“建筑”结构上的“优美”,又让你体验了人类在追求的完美的目标,即数学的“简洁美”,清晰易懂和不失数学的严格性.因为人类学****数学的目的就是为了能尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界.
下面就根据不同的分类原则,举例说明:
x,yK-;2x =0,a>0,且ah1},
a
一.按元素存在的不确定性进行分类讨论
例1:已知非空集合M=
N=«x,y)|x2+y2=3},当Mp|N=0时,求t得取值范围.
解:设圆心(0,)0到直线迈x-y+1ogt=&的距离为d,则
MqN=0od榻,即d=
当a>1时,Ilogt>3,故t>a3或0vtva-3;
ia
当0vav1时,t>a-3或0vtva3.
点评:本题根据对数中底数的定义及性质进行分类,解决了不等式解的问题
例2:已知函数f(x)=-acosX-\/2&sixicos磅2&定义域为0冷],值域为[-5,1],求常数a,b的值.
解:化简函数表达式得f(兀)=-2acosf2x-叮+2a+b,
\3丿
V1,
“ 兀 兀e兀 2兀 1 (八兀)
0VxV—V2x <—,.: Vcos2x
23
3 33 2I3丿
当a>0时,bVf(x)V3a+b,
当av0时,
3a+bVf(x)Vb,
3a+b=1(a=2b=—5 [b=—5
(b=1 (a=—2
3a+b=—5 b=1
、 V
点评:本题根据函数单调性的定义进行分类,解决了函数的值域问题.
二.按概念、定理、公式进行分类讨论:
例3:已知直线l经过点P(—3,1),且被圆x2+y2=25截得的弦长为8,求直线l的方程.
解:当l的斜率不存在时,即l垂直于x轴时,如图所示,
\AE|2=r2—\OE|2=25—9=16,.•.|AE|=4,|AB|=8,此时
直线l的方程为x=—3; B
当l的斜率存在时,可设直线l的方程为y—1=k(x+3),才原点到直线的距离|OE|=3,即3=|OE|=^==,解得 A
k=扌,则此时直线l的方程为4x-3y+15=0;综上,直线l的方程为x=-3或4x—3y+15=0.
点评:本题根据斜率的存在性进行分类,也可不分类直接设直线的法向量,但计算相对要繁琐一些.
例4:如图,过点B(0,-b)作椭圆X2+賽=1,(a>b>0)的弦bm;
a2b2
(1)记|BM|2=f(y),写出f(y)的表达式;
(2)求弦长|bmI的最大值.
解:(1)设M(x,y)为椭圆上任意一点,
yJ
厂
k
,y)
J0
//
kb05
则IBM卩=x2+(y+b)2,又由X+聖=1得a2 b2
x2=—(b2一y2),a|BM|b2
a2
1-
b2
Y b3)
y
人 a2-b2丿
a4
+
a2一b2
,ye[-b,b];
=—(b2一y2)+(y+b)2=1-—y2+2by+a2+b2b2 I b2丿
a2
(2)a>b>0,「.1一<0,/.|BM卩有最大值,b2
又ye[r-b,b],a当加<b时,即a><2b,则最大值在二次函数的顶点取a2一b2
到,
即当y=趕时,BM
卩
max
当一b—>b时,即a<\2b,a2一b2
则最大值在二次函数的端点取到,即当y=b时,
BMI2 =4b2;
max
a2
=-b
2b,a<42b
点评:本题利用变量y的有界性,对二次函数的对称轴进行分类,从而解决了该
综上,\BM\
max
a>j2b
函数的最值问题.
例5:已知等比数列\a}的公比为q,前n项和为S>0,(n=1,2,);
nn
(1)求公比q的取值范围;
(2)设b=a—-a,ib}的前n项和为T,试比较S与T的大小.
n n+22n+1 n n nn
解:(1)S>0,可得a=S>0,且q丰0,
n 1 1
当q=1时,S=na>0,
n1a(1—qn)
当q丰1时,S=亠
n 1—q
成立;
>0,即>0,(n=1,2,),
1—q
解得qg(—1,0\j(0,1\j(1,+8);
综上,q的取值范围是qg(-1,0)U(0,+8);
(2)由b=a —a ,得b=a|q2—q|T=|q2—q|S,
n n+2 2n+1 nnI 2丿 nI 2丿n
S>0,
n
则T—S=|q2—q—11S=|q |(q—2)S,又
nn\2丿n\2丿n
当q 1,—]u(2,+8)时,T>S;
nn
当q=——或q=2时,T=S;
2 nn
当qg(—匕0]u(0,2)时,TvS・
I2丿 nn
点评:本题根据等比数列中公比q进行分类,划分的标准为q=1与q工1,公比
已知S
n
1
r2
2
+
1
rn
q=1常常是等比数列求和中容易忽视的一个部分,必须要加以足够的重视・
2
,记
T
T=S+2n,W=f,其中r丰0,求limW的值.nn nT nxn
n—1
解:S=(r2+r4+r6+ +r2n)+(—+—+—+
Ir2r4r6
1)
+一
r2n丿
—2n,
当|r|=1时,
S=0,贝T=2n,W=丄,・・・limW=1,n n nn—1in
nn—1
当\r\工1时,
+吉(1卡)
1—r2 v1
1———r2
(1—r2n)(r2n+2+1)
2n= ( ) —2n,
r2n1—r2
(1—r2n)(r2n+2+1) 1—r2n+r2n+2—r4n+2
则T= ( ) ,W=土上r r—
n r2n1—r2 nr2—r2n+r2n+2—r4n
若0vrv1时,limW=—
n»nr2
若r>1时,limW=r2;
r2
综上,limW=丿1
0v|r|v1
nT8 n
ri=1
ri>1
点评:本题先根据等比数列的不同取值来进行求和,再进一步根据公比的范围来求极限.
例7:已知偶函数f(x)的定义域为R,若f(x)在[0,+8)上是增函数,且
f
0,求解关于x的不等式fGogx)>0,(a>0,a丰1).a
解:f(x)是偶函数,・・・f(logx)=f(一logx)=f(logx|),
则有fQogax|)>f(2)'
又f(x)在[0,+»)上是增函数,.•.|logx\>-,即logx>-或logx<--,a 2 a 2 a 2
_1
■Ja
点评:本题涉及到对数函数的单调性,
若a>1,贝Vx>Ja或0<x<二;
应按底数进行分类.
三.按参变量的取值范围进行分类讨论:
例8解关于x的不等式_^工<0,aeR.
解:当a>a2,即0<a<1时,解集为<x|a2<x<aS;
当a=a2,即a=0或a=1时,解集为0;
当a<a2,即a<0或a>1时,解集为tx|a<x<a2}.
点评:本题根据涉及参数a及a2的大小,求解不等式,解题的关键是分类标准
的划分.
例9:设集合M={xJQ-a2)2<(a-1)2*,N=trx2-3ax+3a-1<0},且M匸N,求实数a的取值范围.
解:对于集合M:x2一a2<(a一1)2nxe[2a-1,2a2-2a+1],
对于集合N:(x-1)[x-(3a-1)]<0,
当3a-1<1时,即a<3时,N=[3a-1,1],
此时要满足MgN,则£
2a-1>3a-1
2a2-2a+1<1
na=0;
