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半角模型例题
已知,正方形ABCD中,∠EAF两边分别交线段BC、DC于点E、F,且∠EAF﹦45°
结论1:BE﹢DF﹦EF
结论2:S△ABE﹢S△ADF﹦S△AEF
结论3:AH﹦AD
结论4:△CEF的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB
结论5:当BE﹦DF时,△CEF的面积最小
结论6:BM2﹢DN2﹦MN2
结论7:三角形相似,可由三角形相似的传达性获取
结论8:EA、FA是△CEF的外角均分线
结论9:四点共圆
结论10:△ANE和△AMF是等腰直角三角形(可经过共圆获取)
结论11:MN﹦√22EF(可由相似获取)
结论12:S△AEF﹦2S△AMN(可由相似的性质获取)
结论5的证明:
设正方形ABCD的边长为1
则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣S3
﹦1﹣12x﹣12y﹣12(1﹣x)(1﹣y)
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2﹣2xy
因此当x﹦y时,△AEF的面积最小
结论6的证明:
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将△ADN顺时针旋转90°使AD与AB重合
∴DN﹦BN′
易证△AMN≌△AMN′
∴MN﹦MN′
′
在Rt△BMN中,由勾股定理可得:
BM2﹢BN′2﹦MN′2
即BM2﹢DN2﹦MN2
结论7的全部相似三角形:
△AMN∽△DFN△AMN∽△BME△AMN∽△BAN△AMN∽△DMA△AMN∽△AFE
结论8的证明:
由于△AMN∽△AFE
∴∠3=∠2
由于△AMN∽△BAN
∴∠3=∠4
∴∠2=∠4
由于AB∥CD
∴∠1=∠4
∴∠1=∠2
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结论9的证明:
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由于∠EAN﹦∠EBN=45°
∴A、B、E、N四点共圆(辅圆定
理:共边同侧等顶角)
同理可证C、E、N、F四点共圆
A、M、F、D四点共圆
C、E、M、F四点共圆
必会结论--------图形研究正方形半角模型
已知:正方形ABCD,E、F分别在边BC、CD上,且
EAF45,AE、AF分别交BD于H、G,连EF.
一、全等关系
(1)求证:①DFBEEF;②DG2﹢BH2﹦HG2;③AE均分BEF,AF均分DFE.
二、相似关系
(2
)求证:①CE
2DG;②CF
2BH;③EF
2HG.
(3
)求证:④AB2
BGDH;⑤AG2
BGHG;⑥BE
DF
1.
CE
CF
2
三、垂直关系
(4
)求证:①AG
EG;②AH
FH;③tanHCF
AB.
BE
(5)、和差关系
求证:①BGDG
2BE;②AD
DF
2DH;
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③|BEDF|2|BHDG|.
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例1、在正方形ABCD中,已知∠MAN﹦45°,若M、N分别在边CB、DC的延长线上挪动,
.尝试究线段MN、BM、DN之间的数目关系.
.求证:AB=AH.
例2、在四边形ABCD中,∠B+∠D﹦180°,AB=AD,若E、F
分别在边BC、CD上,且满足EF=BE+DF.
1
求证:∠EAF=2∠BAD
例3、在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=120°若,BD=5,
CE=8,求DE的长。
例4、请阅读以下资料:
已知:如图1在RtABC中,BAC
90,AB
AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若DAE45.探
究线段BD、DE、EC三条线段之间的数目关系.
小明的思路是:把AEC绕点A顺时针旋转90,获取ABE,连接ED,
使问题获取解决.请你参照小明的思路研究并解决以下问题:
(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数目关系式,并对你的猜想恩赐证明;
(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其他条件不变,⑴中探
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究的结论能否发生改变?请说明你的猜想并恩赐证明.
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AA
C
D
C
B
D
E
B
E
图1
图2
例5、研究:
(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,试判断BE、DF
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与EF三条线段之间的数目关系,直接写出判断结果:
(2)如图2,若把(1)问中的条件变成“在四边形

ABCD

;
中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F
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分别是边

BC、CD

上的点,且∠EAF=

1∠BAD”,则(1)问中的结论能否依旧成立?若成立,请
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给出证明,若不成立,请说明原由;
(3)在(2)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,
如图3所示,其他条件不变,则(1)问中的结论能否发生变化?若变化,请给出结论并予以证明..
练****牢固1:
如图,在四边形ABCD中,∠B﹦∠D﹦90°,AB﹦AD,若E、F分
1
别在边BC、CD上的点,且∠EAF=2∠BAD.
求证:EF=BE+DF.
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练****牢固2:
如图,在五边形ABCDE中,AB﹦BC﹦CD﹦DE﹦EA,
1
∠CAD=2∠BAE,求∠BAE的度数
练****牢固3:
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已知:正方形

ABCD中,

MAN

45,绕点

A顺时针旋转,它的两边分别交

CB、DC(或它们的
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延长线)于点M、N.
(1)如图1,当MAN绕点

A旋转到

BM

DN

时,有BM

DN

MN

.当

MAN

绕点

A旋转到
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BMDN时,如图2,请问图1中的结论还能否成立?假如成立,请恩赐证明,假如不成立,请
说明原由;
(2)当MAN绕点A旋转到如图3的地址时,线段BM,DN和MN之间有如何的等量关系?请
写出你的猜想,并证明.
AD
ADAD
N
N
BMCBMCMBC
N
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练****牢固4A
如图,在四边形ABCD中,AB﹦AD,∠B﹦∠D﹦90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=12∠BAD.
求证:EFBEFD;
BE
(2)如图在四边形ABCD中,AB﹦AD,∠B﹢∠D﹦180°,E、F分别
A
1
是边BC、CD上的点,且∠EAF=2
∠BAD,(1)中的结论能否依旧成立?
不用证明.
B
E
(3)如图,在四边形ABCD中,AB﹦AD,∠B﹢∠ADC﹦180°,E、F
A
分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=1∠BAD,(1)中的结论是
2
否依旧成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数目关B
系,并证明.
(4)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、
F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在
点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
(1)如图②,若M为AD边的中点,
①△AEM的周长﹦cm;
②求证:EP﹦AE﹢DP;
(2)跟下落点M在AD边上取遍全部的地址(点M不与A、D重合),

D
F
C
D
F
C
F
D
C
E
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△PDM的周长能否发生变化?请说明原由.
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(5).如图17,正方形ABCD,E、F分别为BC、CD边上一点.
(1)若∠EAF﹦45o.求证:EF﹦BE﹢DF.
(2)若△AEF绕A点旋转,保持∠EAF﹦45o,问⊿CEF的周长能否随
△AEF地址的变化而变化?
(3)已知正方形ABCD的边长为1,假如⊿CEF的周长为2.求∠EAF
的度数.

DFC
E
AB
图17
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练****牢固5、
如图,已知在正方形ABCD中,MAN﹦45°,连接BD与AM,AN分别交于E、F两点。
求证:(1)MN﹦MB﹢DN;
2)点A到MN的距离等于正方形的边长;
3)CMN的周长等于正方形ABCD边长的2倍;
SABCD2AB
(4);
SCMNMN
(5)若MAB﹦20°,求AMN;
(6)若MAB
0
45,求
AMN;
(7)EF2
EB2
DF2;
(8)AEN与AFM是等腰三角形;
SAEF
1
。
(9)
SAMN
2
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练****牢固6、
在等边ABC的两边AB,AC所在直线上分别有两点M,N,D为ABC外一点,且
MDN60,
BDC
120,BDCD,研究:当点M,N分别爱直线AB,AC上挪动时,BM,BN,MN之间的数目
关系及
AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.
N
A
A
A
M
N
N
M
B
B
C
B
C
C
M
D
D
D
图①
图②
图③
(1)如图①,当点M,N在边AB,AC上,且DM
DN时,BM,NC,MN之间的数目关系式
;
此时Q
__________
L
(2)如图②,当点M,N在边AB,AC上,且DM
DN时,猜想(1)问的两个结论还成立吗?写出你
的猜想并加以证明;
(3)如图③,当点M,N分别在边AB,CA的延长线上时,若AN
x,则Q
_________用(x,L表示)
练****牢固7、
以以下图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶
点作一个60°的∠MDN,点M,N分别在AB,AC上,求△AMN的周长
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练****牢固8、
如图,在正方形ABCD中,BE=3,EF﹦5,DF﹦4,求∠BAE﹢∠DCF为多少度。
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牢固练****9、
如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB﹦∠F﹦90°,∠A﹦∠E﹦30°。△EDF绕着边AB的中点D旋
转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.
..
①如图2、图3,当∠CDF﹦0°或60°时,AM﹢CK_______MK(填“>”,“<”或“=”).
②如图4,当∠CDF﹦30°时,AM﹢CK___MK(只填“>”或“<”).
猜想:如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM﹢CK_______MK,证明你所获取的结论.
假如MK2CK2AM2,请直接写出∠CDF的度数和MK的值.
AM
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