八种经典线性规划例题(2011年7月29日更新)

1
线性规划常见题型及解法
由条件写出约束条件,并作出可行域,进而通过平移直线在可行域内求线性目的函数的最优解是最常见的题型,除此之外,还有以下六类常见题型.
一、求线性目的函数的取值范围
假设x、y满足约束条件,那么z=x+2y的取值范围是 ( )
x
y
O
2
2
x=2
y=2
x+y=2
B
A
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、(3,5](精品文档请下载)
解:如图,作出可行域,作直线l:x+2y=0,将
l向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值
2,过点B(2,2)时,有最大值6,应选A
二、求可行域的面积
2x+y–6=0=5
x+y–3=0
O
y
x
A
B
C
M
y=2
例2、不等式组表示的平面区域的面积为 ( )(精品文档请下载)
A、4 B、1 C、5 D、无穷大
2
解:如图,作出可行域,△ABC的面积即为所求,由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可,选B
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有( )
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个
x
y
O
解:|x|+|y|≤2等价于
作出可行域如右图,是正方形内部(包括边界),容易得到整点个数为13个,选D
四、求线性目的函数中参数的取值范围
x+y=5
x–y+5=0
O
y
x
x=3
例4、x、y满足以下约束条件,使z=x+ay(a〉0)获得最小值的最优解有无数个,那么a的值为 ( )(精品文档请下载)
A、-3 B、3 C、-1 D、1
3
解:如图,作出可行域,作直线l:x+ay=0,要使目的函数z=x+ay(a>0)获得最小值的最优解有无数个,那么将l向右上方平移后和直线x+y=5重合,故a=1,选D(精品文档请下载)
五、求非线性目的函数的最值
例5、x、y满足以下约束条件 ,那么z=x2+y2的最大值和最小值分别是( )
2x+y-2=0=5
x–2y+4=0
3x–y–3=0
O
y
x
A
A、13,1 B、13,2 (精品文档请下载)
C、13, D、,
解:如图,作出可行域,x2+y2是点(x,y)到原点的间隔的平方,故最大值为点A(2,3)到原点的间隔的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x+y-2=0的间隔的平方,即为,选C(精品文档请下载)
六、求约束条件中参数的取值范围
O
2x–y=0
y
2x–y+3=0
例6、|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(0,0)和(-1,1),那么m的取值范围是 ( )(精品文档请下载)
A、(—3,6) B、(0,6) C、(0,3) D、(—3,3)
4
解:|2x-y+m|<3等价于
由右图可知,故0<m<3,选C
七·比值问题
当目的函数形如时,可把z看作是动点和定点连线的斜率,这样目的函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值.
例变量x,y满足约束条件那么的取值范围是().(精品文档请下载)
(A)[,6](B)(-∞,]∪[6,+∞)(精品文档请下载)
(C)(-∞,3]∪[6,+∞)(D)[3,6]
解析是可行域内的点M(x,y)和原点O
(0,0)连线的斜率,当直线OM过点(,)时,获得(精品文档请下载)
最小值;当直线OM过点(1,6)时,获得最大值6。答案A(精品文档请下载)