倒序相加法练习题组x

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倒序相加法练****题组
一、知识储备
倒序相加:若数列{an}中的第k项与倒数第k项的和具有规律,在求和时可以考虑两项为一组求和,如果想避免项数的奇偶讨论,可以采取倒序相加的特点,即:
S=a+…+a
n12n
S=a+a1+…+a(.
nnn-11
两式相加可得:
2Sn=(ai+an)+(a2+an—1)+…+(an+ai)
・•・S=
n
n(ai+an)
2
二、典型例题
例题:已知函数f(x)=x2+i.
求:
f(20i5)^^2014)+…
+Xi)+Al)+A2)+…+f(2015).
思路:观察可以发现头尾两的自变量互为倒数,所以考虑其函数值的和是否具备某种特点,即f(x)+
£)=1,所以考虑第n个与倒数第n个放在一起求和,可用倒序相加法:
/(x)+ffX
x2+1+(^2+1=X2+i+X2+T=1
5
5
2S=
+A2015)+
+1农015)
+f(2014)+…+
・S=兀015)+f20iJ++f(1)+f(2)+^2014)+f(2015)
3=朮2015)+/(2014)+・・・+/(2)+朮1)吐1)+…
5
5
=4029x1
・s=2049
・・S=2•
点评:此类问题要抓自变量之间的关系,并尝试发现函数值之和是否为定值或者是关于n的函数.
三、好题练****br/>1•已知函数f(x)=(x—+1,则«2021)+«2盒)+…+«2029)+«2晋)的值为()
A.1B.2C.2020D.2021
2.已知函数(x+£)为奇函数,g(x)=f(x)+1,即an=g(20T,则数列{an}的前2013项和为()
A.2014B.2013C.2012D.2011
3.已知函数fx)=(x—1)2+1,利用课本推导等差数列的前n项和的公式的方法,可求得f(—5)+f(—4)+•••+〃)+•••+〃)+f7)等于()
A.25
B.26C.13
D.
25
2
5
n
4.已知数列{an}的前n项和为S”,满足Sn=an2+bn(a,b均为常数),且a7=三.设函数f(x)=sin2x+
5
x
2COS22,记yn=f(an),则数列{y”}的前13项和为()
13兀
A.~2B.7nC.7D.13
5.已知函数f(x)=x2Xpi,则f(l)+f(2)-f(2019)+f(2020)+_^f^2019)^f(2y20)=()
B.
C.20181
D.20191
8
6.
7
8.
D.a=n2—2n+3
n
D.2n2+1
A.
3029
3032
B.3
6056
3
D.
6059
2
11•已知fx)=1+兀2(工WR),若等比数列{a”}满足a^a2020=1?
则f(a1)+f(a2)+-+f(a202Q)=(
A.
2019
B.1010C.2019D.2020
已知g(x)=fx+2)—3是R上的奇函数,an=f(0)+ff^A■f(nn~)^f(1),n^N*,则数列{a”}的通
项公式为()
A.an=n+1B.an=3n+1C.an=3n+3
已知。]=2,a”+1—a”=2n+1(nWN*),则a”=()
A.n+1B.2n+1C.n2+1
已知函数y=f(x)满足fx)+/(1—x)=1,若数列{an}满足an=f(0)+ffQ)+彳”匚『)+朮1),则数列心}
的前20项和为()
A.100B.105C.110D.115
9.设n为满足不等式C0+C1+2C2+-+nCn<2008的最大正整数,则n的值为()
nnnn
A.11B.10C.9D.8
10•已知函数沧)=4^,设an=f2”9)(nWN*),贝燉列{a”}的前2019项的和S2019的值为(
5
5
12.已知函数F(x)=fx+*)—2是R上的奇函数,°”=朮0)+崩+・・・+彳”—)+朮1),nWN*,则数列{a”}的通项公式为()
A.a”=”B.a”=2(”+1)C.a”=”+1D.a”=”2—2”+3
13•已知函数f(x)=x+sinnx—3,则^孟)七^孟)+人話)+…+的值为
A.4033B.—4033
14.已知F(x)=f(x+|)—1是R上的奇函数,
C.8066
°”=/(0)+人)
D.—8066
+)+加)(”WN*),则数列{a”}的通
项
公式为()
A.a=”—1
”
B.a”=”+1
C.a”=”+1
D.a=”2
”
15.已知函数f(x)=(x+1)-1,数列{a”}是正项等比数列,且a1011=1,则f(a1)+f(a2)++f(a2020)+f(a2021)
对于数列{a”},定义数列{a”+1—a”}为数列{a”}的“差数列”若a1=1,{a”}的“差数列”的通项公式
为a”+]—a”=2,则数列{a”}的前”项和S”=.
设数列{a”}的通项公式为an=cos2”°,该数列的前”项和为S”,则S89=.
3x
已知函数f(x)=3x+2(xWR),正项等比数列{a”}满足a50=1,则f(lna1)+f(lna2)++f(lna99)=.
5
19.设广(x)是函数y=f(x)的导数,广'(x)是广(x)的导数,若方程广'(x)=0有实数解x0,贝V称点(x0,fx。))为函数y=f(x)的“拐点”已知:任何三次函数都有拐点,又有对称中心,且拐点就是对称中心.设(x)
12
18
=3x3—2X2+3X+I,数列{an}的通项公式为an=2n—7,则f(a1)+f(a2)H'f(a8)=-
20•设函数f(x)=log24—2X,数列{an}满足an^^2o2o),则a1+a2Ha4039=•
21.若fx)+f(1—x)=2,an=^0)+7^)——)+f(1)(n^N*),贝燉列{a”}的通项公式是
22.
已知fx)=2x—J等差数列J{an}的前n项和为Sn,且S2018=1009,
则f(a1)+f(a2)++f(a2018)=
13
5
23.函数f(x)=2cosr2X,数列{a”}满足。“=/(2”0),其前”项和为S”,则S2019=
24.
推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法,利用此法可求得sin21°+sin22°+sin23°sin288°
+sin289°=
25.
n已知数列{an}满足an+2—2an+1+an=0,且a4=2,{yn}的前7项和为.
x
若函数fx)=sin2x+2cos22,记yn=f(an),则数列、
5
5
27.
28.
=m.
29.
4x
已知函数fx)=4x+2,数列{an}满足an=f^2020)(nGN*),贝燉列{a”}的前2019项和为.
30.
定义在R上的函数fx)=4x+2,Sn=an=
Q+Q+——Mu1),n=2,3,…,贝9Sn=
nnnn
26.设f(x)=J运,利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法,可求
给出定义:对于三次函数fx)=ax3+bx2+cx+d(aZ0),设f'(x)是函数y=fx)的导数,广'(x)是f'(x)的导数,若方程广'(x)=0有实数解x0,贝9称点(x0,fx0))为函数y=fx)的“拐点”经过研究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点对称中心.已知函数h(x)=x3-3x2+x-(2,)(x)=*—2)2+3x—12设"(孟)+h(金)+h2019+…+h(4°15)=n,g(_^丿+g(-^丿+g(_^丿g(2°i8)=m.若t(x)=mx2+nxt'(1),则t'(0)=.
2019+2019+2019+…+2019
ax+bda2—2x
若函数fx)=c^(CM0),其图象的对称中心为(一d,a),现已知fx)=2X一1数列{an}的通项公式为an^^2Q2Q)(nGN*),则数列{a“}的前2019项的和为.
5
5
31.
32.
在各项均为正数的等比数列{an}中,若a1009a1011=3,则logg*+1083右+log3^^的值为.
3x—2
2x一1
33.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),给出定义:设f'(x)是函数y=fx)的导数,广'(x)是f'(x)的导数,若方程广'(x)=0有实数解x0,贝9称点(x0,fx0))为函数y=fx)的“拐点”经同学探究发现:
5
任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.已知
函数f(X)=X3—|x2+3x+8,则该函数的对称中心为;计算£怎)+_/惹)+_/恚)+...+_X|J209)=
34.已知f(n)=a1+a2ClH——aC—1——aC(n^N*)
12nrnn+1n
若a”=n—l,求f(n);
若a=3n-i,求f(20)除以5的余数.
35.设Ag,fxj),B(x2,f(x2))是函数f(x)=1+log2^1——的图象上任意两点.
当x1+X(=1时,(求/()1)4((x2)的值;()()
设Sn/七丿+人亡丿+人亡)+…+f(n71)+■/=),其中nWN*,设Tn为数列{an}的前n项和,
n+1n+1n+1n+1n+1
45求证:99WT
9n3
36.已知数列{an}的前n项和为S“,
若{an}为等差数列,求证:s”=n(a]严);
若s”=n(a]严),求证:{an}为等差数列.
20
8
40.
21
x1
37•若函数沧)=2^1,设数列{an}满足an十]=f(an),且a^Q.
求数列{an}的通项公式;
若记b=f(-(2i-1)an)QWN*),求数列{b.}的前n项和T”.
38.
已知f(x)=4X+2
(x£R),P](X],fxj),P2(x2,fx2))是函数y=fx)的图象上的两点,且线段P1P2的中
点p的横坐标为2
(1)求证:点P的纵坐标是定值;
⑵若数列{a”}的通项公式是an^f(jm)(n=1,2,3,…,m,m^N*),求数列{a”}的前m项和Sm
39.已知数列{an}的前n项和为、且S”一2a”+2=0,函数fx)对任意x^R都有fx)+f(1—x)=1,数列{bn}满足瞋的+刘+人)+…+fn—)+f(l).
求数列{an},{bn}的通项公式;
3
已知函数fx)=9;石.
求/(1)+/(0)和fx)+f(1—x)的值;
记S=f_1)+f2)Hkffm—
mmmm
若数列{c:}满足cn=anbn,Tn是数列{cn}的前n项和,求T“.
),求Sm;
m
8
40.
6
⑶对(2)中的S—和任意—GN*,均有孑>少成立,求实数a的取值范围(直接写出答案即可,不要
mSm+1
求写求解过程).
23
40.
6
41.已知数列{a}满足a=1,a2=3,且对任意n^N*,都有a,+a2CxH——aCr_1H——a,Cn=(a2n1212nrnn+1nn+2
—1)・2n-1成立.
求a3的值;
证明:数列{an}是等差数列.
42.
设A(x1,f(x1)),
B(x2,
的图象上任意两点.且线段AB的中点M的横
24
40.
6
8
40.
6
坐标为
(1)求M的纵坐标;
⑵才佔)+灯+佔)+…+仞+佔,其中nGN*,求Sn;
(3)对于(2)中的Sn,已知叫=希)2,Ln
n
{bn}的前n项的和,求Tn.
nn
4[(n+1)(n+3)—(n+2)2]
(n+1)(n+3)(n+2)2
其中nWN*,
设T为数列
n
43.设奇函数fx)对任意xWR都有fx)=fx—1)+2
求和瞪)+«宁)伙=°,1,2,…,n)的值;
数列{an}满足:。“=/(0)出)+…+fn—巧+加)一f£),数列{an}是等差数列吗?请给予证明.
8
40.
6