提公因式法知识讲解x

提公因式法(基础)
【学****目标】
认识因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系;
2.能确立多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式.
【重点梳理】
重点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.重点讲解:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,而不是部分,因式
分解的结果只好是整式的积的形式.
2)要把一个多项式分解到每一个因式不可以再分解为止.
3)因式分解和整式乘法是互逆的运算,两者不可以混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.
重点二、公因式
多项式的各项中都含有同样的因式,那么这个同样的因式就叫做公因式.
重点讲解:(1)公因式一定是每一项中都含有的因式.
(2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式.
(3)公因式的确定分为数字系数和字母两部分:①公因式的系数是各项系数的最大合约数
是各项中同样的字母,指数取各字母指数最低的.

.②字母
重点三、提公因式法
把多项式

分解成两个因式的乘积的形式,此中一个因式是各项的公因式

m,另一个因式是
,即

,而

正好是

除以

m所得的商,这类因
式分解的方法叫提公因式法.
重点讲解:(1)提公因式法分解因式其实是逆用乘法分配律,
即.
(2)用提公因式法分解因式的重点是正确找出多项式各项的公因式.
3)当多项式第一项的系数是负数时,平时先提出“—”号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号.
4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,则提取公因
式后,该项变为:“+1”或“-1”,不要把该项遗漏,或以为是0而出现错误.
【典型例题】
种类一、因式分解的看法
1、观察以下从左到右的变形:
⑴6a3b3

2a2b

3ab2

;

⑵ma

mb

c

ma

b

c
⑶6x212xy6y26xy2;⑷3a2b3a2b9a24b2
此中是因式分解的有(填序号)
【思路点拨】依据因式分解的定义是将多项式形式变为几个整式的积的形式,
去判断.

从对象和结果双方面
【答案】(3).
【分析】
解:(1)的左侧不是多项式而是一个单项式,
(4)的右侧都不是积的形式,因此它们都不是因式分解;
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只有(3)的左侧是多项式,右侧是整式的积的形式,因此只有(3)是因式分解.
【总结升华】因式分解是将多项式变为积的形式,因此等式的左侧一定是多项式,将单项式拆成几个单项式乘积的形式不可以称为因式分解.等式的右侧一定是整式因式积的形式.
贯穿交融:
【变式】(2014?海南)以下式子从左到右变形是因式分解的是(
)
A.a2+4a﹣21=a(a+4)﹣21
B.a
2
+4a﹣21=(a﹣3)(a+7)
C.(a﹣3)(a+7)=a2+4a﹣21
D.a
2
+4a﹣21=(a+2)2﹣25
【答案】B.
种类二、提公因式法分解因式
2、(1)多项式3x26xy3的公因式是________;
多项式4mn316m28m的公因式是________;
(3)
多项式x(b
c
a)
y(b
c
a)
(a
b
c)的公因式是________;
(4)
多项式2(x
3)
x(3
x)的公因式是________.
【答案】(1)3(2)4
m
(3)
b
c
a
(4)
x
3
【分析】
解:先确立系数部分的公因式,再确立字母部分的公因式.
的公因式就是3、6、3的最大合约数,最后的一项中不含字母,因此公因式中也不含字母.公因式为3.
公因式的系数是4、16、8的最大合约数,字母部分是m.公因式为4m.
公因式是(bca),为一个多项式因式.
多项式可变形2x3xx3,其公因式是x3.
【总结升华】确立公因式必定要从系数、字母及指数三方面下手,公因式可以是一个数,也可以是一个单项式,还可以是一个多项式,互为相反数的因式可变形为公因式.
贯穿交融:
【变式】以下多项式中,能用提公因式法分解因式的是()
A.x2
yB.x2
2x
C.xy2
D.xxyy2
【答案】B;
3、若pq
2
3
2
)
q
p
qpE,则E是(
A.1qp
B.qp
C.1pq
D.1qp
【答案】C;
【分析】
2
3
qp
2
p
q.应选C.
解:pqq
p
1
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【总结升华】观察等式的右侧,提取的是qp2,故可把pq2变为qp2,即左侧=
2
qp1pq.注意偶次幂时,交换被减数和减数的地址,值不变;奇次幂时,交换被减数和
减数的地址,应加上负号.
贯穿交融:
【变式】把多项式
m
1m1m
1提取公因式
m1后,余下的部分是(
)
A.m1
B.2m
C.2
D.m2
【答案】D;
解:m1m1
m
1,
m1m11,
m1m2.
4、(2015春?新沂市期中)分解因式:3x(a﹣b)﹣6y(b﹣a).
【思路点拨】将原式变形后,提取公因式即可获取结果.
【答案与分析】
解:原式=3x(a﹣b)+6y(a﹣b)=3(a﹣b)(x+2y).
【总结升华】此题观察了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解此题的重点.
贯穿交融:
【变式】用提公因式法分解因式正确的选项是()
A.12abc

9a2b2c2

3abc4

3ab
B.3x2y

3xy

6y

3y

x2

x2y
C.

a2

ab

ac

aa

bc
D.x2y

5xy

y

yx2

5x
【答案】C;
解:A.12abc9a2b2c2
3abc4
3abc,故本选项错误;
B.
3x2y
3xy
6y
3y
x2
x
2,故本选项错误;
C.
a2
ab
ac
aa
b
c
,正确;
D.x2y
5xy
y
yx2
5x
1,故本选项错误.
种类三、提公因式法分解因式的应用
5、若x2
3x
2
0,求2x3
6x2
4x的值.
【答案与分析】
解:由x2
3x
2
0,得x2
3x2
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2x36x24x2xx23x4x2x24x0.
【总结升华】条件求值要注意观察代数式的结构,2x36x22xx23x,这样就能由已知整体代
入求值了.
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