提公因式法基础知识讲解x

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提公因式法基础知识讲解
提公因式法(根基)
【学****目标】
1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】
要点一、因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
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要点诠释:(1)因式分解只针对多项式,而不是针对单项式,是对这个多项式的整体,而不是片面,因式分解的结果只能是整式的积的形式.
(2)要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.
(3)因式分解和整式乘法是互逆的运算,二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形,而整式乘法是一种运算.
要点二、公因式
多项式的各项中都含有一致的因式,那么这个一致的因式就叫做公因式.
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要点诠释:(1)公因式务必是每一项中都含有的因式.
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(2)公因式可以是一个数,也可以是一个字母,还可以是一个多项式.
(3)公因式确实定分为数字系数和字母两片面:①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中一致的字母,指数取各字母指数最低的.
要点三、提公因式法
把多项式分解成两个因式的乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式是,即,而正好是除以m所得的商,这种因式分解的方法叫提公因式法.
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要点诠释:(1)提公因式法分解因式实际上是逆用乘法调配律,
即
.
(2)用提公因式法分解因式的关键是切实找出多项式各项的公因式.
(3)当多项式第一项的系数是负数时,通常先提出"'号,使括号内的第一项的系数变为正数,同时多项式的各项都要变号.
(4)用提公因式法分解因式时,若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零,那么提取公因式后,该项变为:"+1'或"-1',不要把该项漏掉,或认为是0而展现错误.
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【典型例题】
类型一、因式分解的概念
1、查看以下从左到右的变形:
⑴()()3322623ababab-=-;
⑵()mambcmabc-+=-+
⑶()22261266xxyyxy++=+;
⑷()()22323294ababab+-=-
其中是因式分解的有
(填序号)
【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式,从对象和结果两方面去判断.
【答案】(3).【解析】
解:(1)的左边不是多项式而是一个单项式,(2)(4)的右边都不是积的形式,所以它们都不是因式分解;只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以只有(3)是因式分解.【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式,所以等式的左边务必是多项式,将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解.等式的右边务必是整式因式积的形式.举一反三:
【变式】(2022?海南)以下式子从左到右变形是因式分解的是(
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)
A.a2+4a﹣21=a(a+4)﹣21
B.a2+4a﹣21=(a﹣3)(a+7)
C.(a﹣3)(a+7)=a2+4a﹣21
D.a2+4a﹣21=(a+2)2﹣25
【答案】B.类型二、提公因式法分解因式
2、(1)多项式2363xxy-+的公因式是________;(2)多项式324168mnmm--的公因式是________;
(3)多项式()()()xbcaybcaabc+--+----的公因式是________;
(4)多项式2(3)(3)xxx-+-的公因式是________.
【答案】(1)3
(2)4m
(3)bca+-
(4)3x-
【解析】
解:先确定系数片面的公因式,再确定字母片面的公因式.(1)的公因式就是3、6、3的最大公约数,结果的一项中不含字母,所以公因式中也不含字母.公因式为3.(2)公因式的系数是4、16、8的最大公约数,字母片面是m.公因式为4m.(3)公因式是(bca+-),为一个多项式因式.(4)多项式可变形()()233xxx---,其公因式是3x-.【总结升华】确定公因式确定要从系数、字母及指数三方面入手,公因式可以是一个数,也可以是一个单项式,还可以是一个多项式,互为相反数的因式可变形为公因式.
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举一反三:
【变式】以下多项式中,能用提公因式法分解因式的是(
)
A.2xy-
B.22xx+
C.2xy2+
D.2xxyy2-+
【答案】B;3、若()()()232pqqpqpE---=-,那么E是(
)
A.1qp--
B.qp-
C.1pq+-
D.1qp+-
【答案】C;【解析】
解:
()()23pqqp---=()()21qppq-+-.应选C.【总结升华】查看等式的右边,提取的是()2qp-,故可把()2pq-变成()2qp-,即左边=()()21qppq-+-.留神偶次幂时,交换被减数和减数的位置,值不变;奇次幂时,交换被减数和减数的位置,应加上负号.举一反三:
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【变式】把多项式()()()111mmm+-+-提取公因式()1m-后,余下的片面是(
)
A.1m+
B.2m
C.2
D.2m+
【答案】D;
解:
()()()111mmm+-+-,=()()111mm-++,=()()12mm-+.4、(2022春?新沂市期中)分解因式:3x(a﹣b)﹣6y(b﹣a).【思路点拨】将原式变形后,提取公因式即可得到结果.
【答案与解析】
解:原式=3x(a﹣b)+6y(a﹣b)=3(a﹣b)(x+2y).【总结升华】此题测验了因式分解﹣提公因式法,纯熟掌管提取公因式的方法是解此题的关键.举一反三:
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【变式】用提公因式法分解因式正确的是(
)
A.()222129343abcabcabcab-=-
B.()2233632xyxyyyxxy-+=-+
C.()2aabacaabc-+-=--+
D.()2255xyxyyyxx+-=+
【答案】C;
解:A.()222129343abcabcabcabc-=-,故本选项错误;B.()2233632xyxyyyxx-+=-+,故本选项错误;C.()2aabacaabc-+-=--+,正确;D.()22551xyxyyyxx+-=+-,故本选项错误.类型三、提公因式法分解因式的应用
5、若0232=-+xx,求xxx46223-+的值.【答案与解析】
解:
由0232=-+xx,得232xx+=
()3222642342240xxxxxxxxx+-=+-=´-=.【总结升华】条件求值要留神查看代数式的布局,()3222623xxxxx+=+,这样就能由已知整体代入求值了.
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