排列组合常见题型及解题策略(详解)x

排列组合常见题型及解题策略
一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数
【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同报名方法?
(2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果?
(3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法?
【解析】:(1)34(2)43(3)43
【例2】把6名实****生分配到7个车间实****共有多少种不同方法?
【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实****生分配到车间有7种不同方案,第二步:将第二名实****生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有76种不同方案.
【例3】8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有()
A、83 B、38 C、A3D、C3
88
【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有83种不同的结果。所以选A
二.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列.
【例1】A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果A,B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法
种数有
【解析】:把A,B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于4人的全排列,A4 24种
4
【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是()A.360B.188C.216D.96【解析】:间接法6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有,
C2A2A2A2=432种,其中男生甲站两端的有AiC2A2A2A2=144,符合条件的排法故共有288
242 23 23 2
三.相离问题插空法:元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,
再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数
【解析】除甲乙外,其余5个排列数为A5种,再用甲乙去插6个空位有A2种,不同的排法种56
数是A5A23600种
56
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的
插法(具体数字作答)
【解析】:A1A1A1=504
789
【例3】高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出
顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是
【解析】:不同排法的种数为A5A2=3600
56
【例4】某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是
【解析】:依题意,只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中,可得有A2=20种不同排法。
5
【例5】某市春节晚会原定10个节目,导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目,但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个,并且已经排好的10个节目的相对顺序不变,则该晚会的节目单的编排总数为 种.
【解析】:A1A1A1=990
91011
【例6】•马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
【解析】:把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C;种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.
说明:一些不易理解的排列组合题,如果能转化为熟悉的模型如填空模型,排队模型,装盒模型可使问题容易解决.
【例7】3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种数有多少种?【解析】:解法1、先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A3,O*O*O*O,在四个空中
3
分别放一把椅子,还剩一把椅子再去插空有A1种,所以每人左右两边都空位的排法有A1A3=24.
4 3
解法2:先拿出5个椅子排成一排,在5个椅子中间出现4个空,*O*O*O*O*再让3个人每人带一把椅子去插空,于是有
A3=24种.
4
【例8】停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放.要求空车位置连在一起,不同
的停车方法有多少种?
【解析】:先排好8辆车有A8种方法,要求空车位置连在一起,则在每2辆之间及其两端的9个8
空档中任选一个,将空车位置插入有C1种方法,所以共有C1A8种方法.
9 9 8
注:题中*表示兀素,o表示空.
四.元素分析法(位置分析法):某个或几个元素要排在指定位置,可先排这个或几个元素;再排其它的元素。
【例1】2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人
分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余
三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有( )
A.36种 B.12种 C.18种 D.48种
【解析】:方法一:从后两项工作出发,采取位置分析法。A2A3二36
3
方法二:分两类:若小张或小赵入选,则有选法C1C1A3二24;若小张、小赵都入选,则有选
2 3
法A2A2二12,共有选法36种,选A.
2 3
【例2】1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念,若老师不站两端则有不同的排法有多少种?
【解析】:老师在中间三个位置上选一个有A1种,4名同学在其余4个位置上有A4种方法;所以3 4
共有A1A4=72种。.
4
【例3】有七名学生站成一排,某甲不排在首位也不排在末位的排法有多少种?
【解析】法一:A1A6=3600 法二:A2A5=3600法三:A7—A6—A6=3600
6 6 5 7 6 6
五■多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑,再分段处理。
【例1】(1)6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是( )
A、36种B、120种 C、720种D、1440种
把15人分成前后三排,每排5人,不同的排法种数为
(A)A5A5 (B)A5A5A5A3(C)A15 (D)A5A5A5十A3
15 10 15 10 5 3 15 15 10 5 3
8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素
排在后排,有多少种不同排法?
【解析】:(1)前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共
A6=720种,选C.
6
(2)答案:C
(3)看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有A2种,某1个元素排在后半段的
4
四个位置中选一个有Ai种,其余5个元素任排5个位置上有A5种,故有A1A2A5二5760种排法.
5 445
五.定序问题缩倍法(等几率法):在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法.
【例1】•A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A,B可以不相邻)那么
不同的排法种数是()
【解析】:B在A的右边与B在A的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即1A5=60种
25
【例2】书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有多少种不同插法?
1
【解析】:法一:A3 法二:丁A9
9 A69
6
【例3】将A、B、C、D、E、F这6个字母排成一排,若A、B、C必须按A在前,B居中,C
在后的原则(A、B、C允许不相邻),有多少种不同的排法?
1
【解析】:法一:A3 法二:丁A6
6 A36
3
六.标号排位问题(不配对问题)把元素排到指定位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
【例1】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有()A、6种B、9种C、11种D、23种【解析】:先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3X3X1=9种填法,选B.
【例2】编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是()A10种 B20种C30种D60种
【解析】答案:B
【例3】:同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式共有() (A)6种(B)9种(C)ll种(D)23种
【解析】:设四个人分别为甲、乙、丙、丁,各自写的贺年卡分别为a、b、c、do
第一步,甲取其中一张,有3种等同的方式;
第二步,假设甲取b,则乙的取法可分两类:
(1) 乙取a,则接下来丙、丁取法都是唯一的,
(2) 乙取c或d(2种方式),不管哪一种情况,接下来丙、丁的取法也都是唯一的。
根据加法原理和乘法原理,一共有3x(1+2)=9种分配方式。 故选(B)
【例4】:五个人排成一列,重新站队时,各人都不站在原来的位置上,那么不同的站队方式共有
() (A)60种 (B)44种 (C)36种 (D)24种
【解析】答案:B
六.不同元素的分配问题(先分堆再分配):注意平均分堆的算法
【例1】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式?
1) 分成1本、2本、3本三组;
2) 分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本
3) 分成每组都是2本的三个组;
4) 分给甲、乙、丙三人,每个人2本;
5) 分给5人每人至少1本。
解析】:(1)C61C52C33
2)C1C2C3A3
65 33
3)
C2C2C2
―6~4_2
A3
3
4)C2C2C2 (5)
642
C2C1C1C1C1C1
—5_5~4_3_2―A5
A4 5
4
个乡镇去当村官,
每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有
【例2】将4名大学生分配到3种(用数字作答).
C2-Ci-Ci
【解析】:第一步将4名大学生按,2,1,1分成三组,其分法有421A2
2
第二步将分好的三组分配到3个乡镇,其分法有A3所以满足条件得分配的方案有
C4 2 1-A3二36
A2 3
2
说明:分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
【例3】5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有
(A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
C3C1C1
【解析】:人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有SA;1xA3=60种,若
2
C1C2C2
1,1,3,则有亠;4亠xA3=90种,所以共有150种,选A
A2 3
【例4】将9个(含甲、乙)平均分成三组,甲、乙分在同一组,则不同分组方法的种数为()
A.70 B.140 C.280 D.840
【解析】:(A)
【例5】将5名实****教师分配到高一年级的3个班实****每班至少1名,最多2名,则不同的分
配方案有() (A)30种(B)90种 (0180种 (D)270种
【解析】:将5名实****教师分配到高一年级的3个班实****每班至少1名,最多2名,则将5名教
•C1•C1A36
Ci•C2 ”一
师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有七7=15种方法,再将3组分到3个班,共有A2
2
15-A3=90种不同的分配方案,选B.
3
【例6】某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有( )种 A.16 B.36 C.42 D.60
【解析】:按条件项目可分配为2,1,0,0与1,1,1,0的结构,・•・C2C2A2+C3A3二36+24二60故选D;
32 43
【例7】(1)5本不同的书,全部分给4个学生,每个学生至少一本,不同的分法种数为()
A、480种B、240种 C、120种D、96种 【解析】:答案:B.
(2)12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案
C4C4C4
有多少种? 【解析】:答案:1284A
A3 3
3
【例8】有甲乙丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需一人承担,从10人中选出4人承担这三
项任务,不同的选法种数是()A、1260B、2025C、2520D、5040
【解析】:先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有C2C1C1二2520种,选C.
1087
【例9】.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设,其中甲同学不到银川,乙不到西宁,共有多少种不同派遣方案?
【解析】:因为甲乙有限制条件,所以按照是否含有甲乙来分类,有以下四种情况:
若甲乙都不参加,则有派遣方案A4种;
8
若甲参加而乙不参加,先安排甲有3种方法,然后安排其余学生有A3方法,所以共有3A3;
88
若乙参加而甲不参加同理也有3A3种;④若甲乙都参加,则先安排甲乙,有7种方法,然后再
8
安排其余8人到另两个城市有A2种,共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法总数为
88
A4+3A3+3A3+7A2=4088种
8888
【例10】四个不同球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有多少种?
【解析】先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有C2种,再排:在四个盒中每次排
4
3个有A3种,故共有C2A3二144种.
4 44
七.相同元素的分配问题隔板法:
【例1】:把20个相同的球全放入编号分别为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于其编号数,则有多少种不同的放法?
【解析】:向1,2,3号三个盒子中分别放入0,1,2个球后还余下17个球,然后再把这17个球
分成3份,每份至少一球,运用隔板法,共有C2=120种。
16
【例2】10个三好学生名额分到7个班级,每个班级至少一个名额,有多少种不同分配方案?【解析】:10个名额分到7个班级,就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆,每堆至少一个,可以在10个小球的9个空位中插入6块木板,每一种插法对应着一种分配方案,故共有不同的分配方案为C6=84种.
9
变式1:7个相同的小球,任意放入四个不同的盒子,问每个盒子都不空的放法有 种
变式2:马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盏路灯,为节约用电,可以把其中的三盏路灯关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,满足条件的关灯办
法有 种
【例3】:将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3个中,使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种?
【解析】:1、先从4个盒子中选三个放置小球有C3种方法。
4
2、 注意到小球都是相同的,我们可以采用隔板法。为了保证三个盒子中球的颜色齐全,可以在4
个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球所产生的3个、4个5个空挡中分别插入两个板。各有C2、C2、C2种方法。
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3、 由分步计数原理可得C3C2C2C2=720种
4345
八.多面手问题(分类法---选定标准)
【例1】:有11名外语翻译人员,其中5名是英语译员,4名是日语译员,另外两名是英、日语均精通,从中找出8人,使他们可以组成翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,这两个小组能同时工作,问这样的8人名单可以开出几张?
C4C4+C3C1C4+C4C1C3+C2C4+C4C2+C3C1C1C3
4 5 24 5 24 5 4 5 4 5 214
变式:.有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
答案:185
九.走楼梯问题(分类法与插空法相结合)
【例1】小明家住二层,他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。已知相邻楼层之间有16级台阶,那么小明从一层到二层共有多少种不同的走法?
【解析】:插空法解题:考虑走3级台阶的次数:
1)有0次走3级台阶(即全走2级),那么有1种走法;
2)有1次走三级台阶。(不可能完成任务);
3)有两次走3级台阶,则有5次走2级台阶:
(a)两次三级台阶挨着时:相当于把这两个挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,
有Ci=6种
6
(b)两次三级不挨着时:相当于把这两个不挨着的三级台阶放到5个两级台阶形成的空中,有
C2=15种走法。
6
4) 有3次(不可能)
5) 有4次走3级台阶,则有2次走两级台阶,互换角色,想成把两个2级台阶放到3级台阶形
成得空中,同(3)考虑挨着和不挨着两种情况有种C1+C2=15走法;
55
6) 有5次(不可能)
故总共有:1+6+15+15=37种。
变式:欲登上第10级楼梯,如果规定每步只能跨上一级或两级,则不同的走法共有( )
(A)34种(B)55种(C)89种(D)144种答案:(C)十.排数问题(注意数字“
0”)
【例1】(1)由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字
的共有( )A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
【解析】:按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有A5个,
5
AiAiA3,AiAiA3,AiAiAs,AiAs个,合并总计300个,选B.
433 333 233 33
(2)从1,2,3,・…,100这100个数中任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
【解析】:将I={】23…,i00}分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A={4,8,i2,…i00};能被4除余1的数集B={i,5,9,…97},能被4除余2的数集C={2,6,…,98},能被4除余3的数集D={3,7,ii,・・・99},易见这四个集合中每一个有25个元素;从A中任取两个数符合要;从B,D中各取一个数也符合要求;从C中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有C2+CiCi+C2种.
25 2525 25
十■—■染色问题:涂色问题的常用方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;
(2)根据相对区域是否同色分类讨论; (3)将空间问题平面化,转化成平面区域涂色问题。
【例1】将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是 .
【解析一】满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
⑴若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任选两种涂A、
B、C、D四点,此时只能A与C、B与D分别同色,故有C1A2二60种方法。
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(2) 若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种颜色中任
选两种染A与B,由于A、B颜色可以交换,故有A2种染法;再从余下的两种颜色中任选一种
4
染D或C,而D与C,而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有C1A2。。二240
422种方法。
(3) 若恰用五种颜色染色,有=120种染色法
综上所知,满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.
【解析二】设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行,对S、A、B染色,有5x4x3二60种染色方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C)、S不同色,有3种选择;
C与A不同色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对C、D染色有1x3+2x2=7