复旦大学博弈论第三章习题

问题1：如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的

结果尚不能肯定，即下图中

a

、b数值不确定。试讨论本博

弈有哪几种可能的结果。如果本博弈中的“威胁”和“承诺”

是可信的，

a

或b应满足什么条件？

乙

借

甲

分

不分

乙

不打

（2，2）打

不借

（1，0）

①a0，不借—不分—不打；

②0a1，且b2，借—不分—打；

③a1，且b2，借—不分—打

(a,b)

；

④a0，且b2，借—分—（2，2）

问题2：三寡头市场需求函数P100Q，其中Q是三

个厂商的产量之和，并且已知三个厂商都有常数边际成本2

而无固定成本。如果厂商1和厂商2同时决定产量，厂商3

根据厂商1和厂商2的产量决策，问它们各自的产量和利润

是多少？



1

(100q

1

q

2

q

3

)q

1

2q

1

(98q

1

q

2

q

3

)q

1



2

(100q

1

q

2

q

3

)q

2

2q

2

(98q

1

q

2

q

3

)q

2



3

(100q

1

q

2

q

3

)q

3

2q

3

(98q

1

q

2

q

3

)q

3



30,q

3

(98q

1

q

2

)/2

q

3

（a，b）

（0，4）

代入，



1

(98q

1

q

2

)q

1

/2,

2

(98q

1

q

2

)q

2

/2



1



2

***q

2

98/3,q

3

49/30,0

，得

q

1q

1

q

2

1

**

1

*

2

4802/9,

3

2401/9。

问题3：设两个博弈方之间的三阶段动态博弈如下图所

示。

（1）若

a

和b分别等于100和150，该博弈的子博弈完

美纳什均衡是什么？

（2）LT是否可能成为该博弈的子博弈完美纳什

均衡路径，为什么？

（3）在什么情况下博弈方2会获得300单位或更高的

得益？

1

L

2

M

1

T

200，200S

R

300，0

（a，b）

50，300

（1）博弈方1在第一阶段选择R，在第三阶段选择S，

博弈方2在第二阶段选择M。

（2）不可能。LT带来的利益50明显小于博

弈方1在第一阶段R的得益300；无论

a

和b是什么数值，该

路径都不能构成ash均衡，不能成为子博弈完美ash均衡。

（3）由于LT不是本博弈的子博弈完美ash均

衡，因此博弈方2不可能通过该路径实现300单位的得益，

唯一有可能实现300单位及以上的得益的路径为LS，

要使该路径成为子博弈完美ash均衡而且博弈方2得到300

单位及以上的得益必须a300,b300。

问题4：企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择

生产低档产品或高档产品，每个企业在四种不同的情况下的

利润如以下得益矩阵所示。如果企业甲先于企业乙进行产品

2

选择并投入生产，即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的

选择，而且这一点双方都清楚。

（1）用扩展型表示这一博弈。

（2）这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么？

企业乙

高档低档

企业甲高档500，5001000，700

低档700，1000600，600

扩展型表示的博弈

甲

高

乙

高

低高

（700，1000）

低

乙

低

（500，500）

（1000，700）（600，600）

若甲选择高档，乙选择低档，甲得1000元，乙得700元；

若甲选择低档，乙选择高档，那么甲得700元，乙得1000

元，

所以：甲的策略为：选择生产高档产品；

乙的策略是：若甲选择高档，乙选择低档；若甲选择低档，

乙选择高档。

本博弈的子博弈ash均衡是：甲选择生产高档彩电，乙选

择生产低档彩电。

问题5：乙向甲索要1000元，并且威胁甲如果不给就与

他同归于尽。当然甲不一定相信乙的威胁。请用扩展型表示

该博弈，并出纯策略纳什均衡和子博弈完美纳什均衡。

两个纯策略ash均衡：（给，实施），（不给，不实施）

实施的威胁不可信，甲在第一阶段选择不给，乙在第二阶段

不实施（生命诚可贵）；这是子博弈完美纳什均衡；另一个（给，

实施）不可信。

3

甲

不给

乙

实施不实施

（0，0）

不给

（-1000，1000）

（-∞，-∞）

问题6：两个寡头企业进行价格竞争博弈，企业1的利润

（paqc)2q

，企业2的利润函数是函数是

1





2

（qb)2p，其中p是企业1的价格，q是企业2的

价格。求：

（1）两个企业同时决策的纯策略纳什均衡；

（2）企业1先决策的子博弈完美纳什均衡；

（3）企业2先决策的子博弈完美纳什均衡；

（4）是否存在参数a,b,c的特定值或范围，使两个企业

都希望自己先决策？



12(paqc)0

p

解：（1），解得：pabc,qc



22(qb)0

q



1

b,

2

abc



2（2）2(qb)0，代入得到

q





1

（pabc)2b

，1（2pabc)0，得

p

pabc，企业1的子博弈完美纳什均衡企业1的定价

pabc，企业2的定价qb，利润也与（1）相同。与同时

选择无异。

（3）将paqc代入



2

（qb)2p（qb)2aqc

4

a

2（2qb)a0，解得qb，代入得

2

q

a2

pabc

2

2aa

*

1

*bb，

2

abcabc

24

（4）只有先决策的利润大于后决策时的利润时才有激

a2

励。①当abcabca0，企业2希望先决策；

4

a

②当bb时，企业1希望先决策，只要a0都希望自

2

己先决策。

aa2

b0,b0,abc0,abc0，因此当

24

a

a0,b和cab时都能满足，这样才参数范围都希望

2

自己先决策。

问题7：三寡头市场有倒转的需求函数为P(Q)aQ，

其中Qq

1

q

2

q

3

，q

i

是厂商i的产量。每一个厂商生产的

边际成本为常数

c

，没有固定成本。如果厂商1先选择产量

q

1

，厂商2和厂商3观察到q

1

后同时选择q

2

和q

3

，问它们各

自的产量和利润是多少？

解：

i

(ac)(q

1

q

2

q

3

)q

i

i1,2,3



2acq

1

2q

2

q

3

0

q

2



3acq

1

q

2

2q

3

0

q

3

11

q

2

q

3

(acq

1

)

，代入得

1

(acq

1

)q

133

1d

1

1

***qq(ac)令0,q

1

(ac)，代入得：

236dq

1

2

5

111

2*2*(ac),

2

(ac),

3

(ac)2

123636

问题8：考虑如下的双寡头市场战略投资模型：企业1

和企业2目前情况下的生产成本都是c2。企业1可以引进

一项新技术使单位成本降低到c1，该项技术需要投资f。

在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，两

个企业同时选择产量。假设市场需求函数为p(q)14q，

其中p是市场价格，问上述投资额fq是两个企业的总产量。

处于什么水平时，企业1会选择引进新技术？

*

1

解：以未引进技术为基准



1

(14q

1

q

2

)q

1

2q

1



1



2，令0，得



2

(14q

1

q

2

)q

2

2q

2

q

1

q

2

q

1

q

2

4,

1



2

16



1

(14q

1

q

2

)q

1

q

1

f

如果引进技术，



2

(14q

1

q

2

)q

2

2q

2

1411196

1



2f令0，得q

1

,q

2

,

1





q

1

q

2

339

只有引进技术后得到的利润大于未引进技术的总利润时，即

19619652

f16，即f16时企业1才会引进新技

999

术。

问题9：如果学生在考试之前全面复习，考好的概率为

90%，如果学生只复习一部分重点，则有50%的概率考好。全

面复习花费的时间t

1

100

小时，重点复习只需要花费

t

2

20小时。学生的效用函数为：UW2e，其中W是

考试成绩，有高低两种分数W

h

和W

l

，e为努力学习的时间。

问老师如何才能促使学生全面复习？

解：学生全面复习的期望得益

u

1

0.9(w

h

200)0.1(w

l

200)0.9w

h

0.1w

l

200

学生重点复习的期望得益

u

2

0.5(w

h

40)0.5(w

l

40)0.5w

h

0.5w

l

40

根据激励相容的条件，u

1

u

2

，所以有

6

0.9w

h

0.1w

l

2000.5w

h

0.5w

l

40

所以：

0.4(w

h

w

l

)160

故：

w

h

w

l

400

奖学金与学习成绩全面挂钩，才能激励学生的学习；单靠成

绩没有这么大的力度。

学生

全面

成绩

高分0.9

低分0.1

重点

成绩

高分0.5

低分0.5

W

h

-200

W

l

-200W

h

-40

W

l

-40

问题10：某人正在打一场官司，不请律师肯定会输，请

律师后的结果与律师的努力程度有关。假设当律师努力工作

（100小时）时有50%的概率能赢，律师不努力工作（10小

时）则只有15%的概率能赢。如果诉讼获胜可得到250万元

赔偿，失败则没有赔偿。因为委托方无法监督律师的工作，

因此双方约定根据结果付费，赢官司律师可获赔偿金额的

10%，失败则律师一分钱也得不到。如果律师的效用函数为

.m0.05e，其中m是报酬，e是努力小时数，且律师有机会

成本5万元。求这个博弈的均衡。

解：第三阶段，律师

努力的期望得益：0.5200.557.5

不努力的期望得益：0.1524.50.850.53.25

满足激励相容约束

第二阶段：7.53.25&7.55

接受委托并努力工作

第一阶段：委托，接受委托，代理人努力工作，那么

0.52250.50112.50

委托是必然的选择。

打官司的人提出委托，律师接受委托并努力工作。

7

1

委托

不委托

2（0，5）

拒绝

接受

1（0，5）

不努力

努力

0

0

输0.5

赢0.15

输0.85

赢0.5

（225，20）

（0，-5）

（225，24.5）

（0，-0.5）

8