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浅议三分损益律和

度相生律的异同

五

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浅议三分损益律和五度相生律的异同：望月

2008-05-1909:37

前言

三分损益律和五度相生律分别作为中、西方的“乐制之祖”，在生律方法、生

律原理等方面存在着某些相似性，同时又各有其特点。可以说这两个律法都属

于同一体系，因此，过去学术界一直把这两种律法互相混淆，近些年来，有一

些学术界人士开始注重这两个律法的区别，并有很多相关的论述和著作，但是

目前为止，学术界好像并没有得出比较统一的结果，因此我在阅读了一些相关

的文献之后，仍觉得疑点甚多。究其原因，可能是因为这两个律法都是假定某

一音为起始，反复或依次通过纯五度或纯四度相生出其余的音，这样的结果无

限次相生下去，永远不能回到起始音，虽然可以通过生出更多的律来无限接近

这个起始音，但这个方法不是一个完美的解决方案。因而通过三分损益法和五

度相生律来生律，必然只能局部取音，或者连续下生十一律，或者上下交错产

生新律，且取多或少也各有说法，各执已见，难以形成统一的结论。

从起始音出发生律不能回到开始的问题在我国律学上称为“不能旋相为宫”，

就是假设从宫音出发，经过律法生律，最终不能还原到宫音，这给转调带来了

困难。可以说，中国律学的发展过程也就是一个解决这个问题的过程，同样

地，在西方乐理中也存在这个问题。上面说的产生更多的律是一种研究方向，

结果并不理想。在中国，直到南北朝时期，开始出现另一种思路，即何承天创

造的新律，他的做法是不采用增加律数的方法来无限接近“旋相为宫”，而是在

十二律本身内调整各律的高度，使十二律的最后一律能回到出发律上，这是世

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界上最早试图解决十二平均律的人，直到明朝的朱载堉，才最终得出了和现在

完全相同的十二平均律出来。

需要知道的是，十二平均律是人为地将一个八度分成十二个相差半度的音，

这些音之间并不是振动频率等差产生，而是用数学中幂的方法计算出来的，它

们的频率是数学中等比数列的关系，这个等比值是2开12次方，也就是

1.05946。而四度五度相生律体系是靠物体振动自身产生的分级振动原理取音

的（这在以后的文章里会详细探讨），它们之间频率的比总是有一个3/2或者

3/4的关系存在，因而四度五度相声体系的音比十二平均律的音更接近自然更

和谐。

作为一个古琴爱好者，要知其然更要知其所以然，古琴律制是建立在三分损

益律和因此发展出来的纯律的基础上的，学习古琴，应该对中国传统的律学有

比较深入的了解，套用十二平均律来附和古琴律制，于细微处决对是不准确

的。

谈到中国的传统律制三分损益律，就不能不比较对应的西方律法五度相生

律，下面我总结了最近一些学习心得，试着对这两种律制进行一下比较，加深

我的认识，也提出我的疑惑。

三分损益律和五度相生律

要比较这两种律学，就必须同时根据这两个律学各自的历史发展过程和因此

产生的各律的变迁加以辅助比较。简单说来，中国律学史与西方律学史，都是

从相同的四度五度相声原理出发，到十二平均律告一段落。但在这个过程中，

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各自的发展方向却不一样。中国因为“旋相为宫”，不断地产生新的律法研究方

法；而西方乐理，由于多声部音乐的兴起，往纯律和十二平均律方向发展。

由于律法方面的定义和奥理多而杂，其中很大一部分是我目前还不能理解

的。因此，这篇文章里我只从最基本的概念来讲，稍微复杂的例如音分音差等

概念尽量不涉及。

三分损益律是基于三分损益法而产生的一种律制，五度相生律是基于五度相

生法而产生的一种律制，“律”是产生音律的制度，而“法”是产生律的方法。本

文中对律和法的概念并没有详细区分，或有互相颠倒之处，意会即可。

（一）三分损益律

1三分损益律的生律原理

我们知道，两个相差八度的音的频率正好相差一倍。而所谓“三分损益法”，

就是先将发音体的长度三等分，“三分损一”，即去其三分之一，取其三分之二

长度发音，这样的结果就是新的音的振动频率是原音的1.5倍，也就是原音的

上方的纯五度音，举例来说，原音是c，新生的音就是g。“三分益一”，即增其

三分之一，成其三分之四长度发音，这样的结果就是新的音的振动频率是原音

的0.75倍，也就是原音的下方的纯四度音，举例来说，原音是c1，新生的音

就是g。可以发现，对于同一个起始音，“三分损一”得来的音和“三分益一”得

来的音正好是频率两倍的关系，也就是说这两个新生的音正好相差一个八度，

也就是说一个纯五度和一个纯四度正好构成一个八度的关系。

2三分损益律的生律过程

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三分损益律的生律方法，这需要结合中国古代在生律实践中的具体情况来

说。

古人在实际地用三分损益法取音过程中并不是用同一个起始音不断反复地生

成新律，而是靠依次损益逐个派生的方法得出其它各律。注意这个过程是依次

的，不是所有的音都是由第一个起始音相生而成。

最早记录这个生律方法的古代文献见《管子.地员篇》：“凡将起五音，几

首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首以成宫。三分而益之

以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足以生商。有三分而复干其

所，以是生羽。有三分去其乘，适足以是成角。”

这段话大概意思就是：将黄种音定位为起始音，作宫声，假定其律数为81

（可以认为律管长81），先三分益一，即乘以4/3，得律数108，这就是徵

音；再用徵音三分损一，即乘以2/3，得律数72，这就是商音；再用商音三分

益一，即乘以4/3，得律数96，这就是羽音；再用羽音三分损一，即乘以

2/3，得律数48，这就是角音。

按大小排列得：

徵羽宫商角

1

注意：律数是指振动体假设的长度，长度越小，振动频率越高，音越高。

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可以看出，按照这种方法得出的一组音，是以徵音为主音的徵调式五声音

阶，并不是我们所熟悉的宫商角徵羽以宫为主音的宫调式五声音阶。

见《吕氏春秋•音律篇》记载：“黄钟生林钟，林中生太簇（cu），太簇生南

吕，南吕生姑洗，姑洗生应钟，应钟生蕤（锐rui）宾，蕤宾生大吕，大吕生夷

则，夷则生夹钟，夹钟生无射（意yi），无射生仲吕。三分所生，益之一分以

上生；三分所生，去其一分以下生。黄钟、大吕、太蔟（cu）、夹钟、姑洗、

仲吕、蕤（锐rui）宾为上；林钟、夷则、南吕、无射（意yi）、应钟为下。”

显然，这个时候，中国古代已经出现了完整的十二律名称。围绕着《吕氏春

秋•音律篇》中的这段话“三分所生，益之一分以上生；三分所生，去其一分以

下生”，因为这句话的语焉不详，学术界形成了两种论点，即先损后益还是先益

后损，将这两种结果示表如下：

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可以看出这两种结果，其实是一样的，因为，将表2中林钟，夷则，南吕，

无射，应钟这几个音的频率乘以2，即各提升八度，最后的结果就和表1完全

一样了。先后损益顺序不同，造成的结果只能是首调结果不一样而已。

另外还有一些说法，春秋战国时期，封建皇权思想还没有出现，所以《管子.

地员篇》中貌似“犯宫”的生律方法作为最原始的律法来讲，还没有上升到让统

治阶级不爽的地步。因而，在这之后的律法中逐渐形成了以黄钟音出发，其它

音依次向下派生，不侵犯黄钟音的主音位置，可能就是因为这个封建皇权日渐

加强的社会形势下其它音不能犯宫的原因而形成的。而在古代，以黄钟为皇权

的象征，所以古人应该是采用先损后益的方法生律的。这个说法也是有一定道

理的。

这时，再回头来计算，按照管子的黄钟律数为81的假设，得林钟54，太

簇72，南吕48，姑洗64。姑洗再往下生，就得不到整数律了，所以传统音乐

中长期以来以五声音阶为主。

按大小排列得：

中国律名：黄钟太簇姑洗林钟南吕

中国唱名：宫商角徵羽

五声音名：Cdega

五声唱名：12356

律数：8172645448

这就是以黄钟宫为主的宫调式五声音阶。

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3用三分损益法生成十二律的疑惑

按照上图表1的方法，黄钟律乘以2/3得林钟律，林钟律乘以4/3得太蔟

律，太蔟律乘以2/3得南吕律，南吕律乘以4/3得姑洗律，姑洗律乘以2/3

得应钟律，应钟律乘以4/3得蕤宾律。到此我暂停一下。在我查的基本律学

书籍中，对于十二律都是如上面所述方式一损一益交替进行。但是在实际计算

过程中，我发现，由蕤宾律继续乘以2/3生大吕，大吕继续乘以4/3生夷则，

这个时候大吕音的频率已经超出黄钟律的两倍，即跳到高八度之外了，用这个

方法，同样的夹钟仲吕两律也在八度之外。见表3：

另外还有一种说法，就是在蕤宾生大吕时继续益一及乘以4/3得大吕#c1，

大吕接着乘以2/3得夷则，也就是说在蕤宾生大吕时开始交换损益顺序，就像

月历中大小月交错，但是到了7月8月后交换的情况，古人在研究音律时是喜

欢联系到天文历法的，所以用这个说法来解释好像也不算牵强。按照这样的生

律法，结果就和表1中的一样了。

即使如表3，可以发现，如果把大吕，夹钟，仲吕三律频率各取一半，即降

低一个八度，最后的结果其实也是和表1一样的，但是这样的说法多少有一些

牵强。

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所以说，不管如何解释这个生律的步骤，虽然终究殊途同归。但是，我疑惑

的是，不管是用大小月历的方法来解释，还是用将超出八度之外的音拉回八度

内的方法来解释，至少在相关的文献和著作中都应该有所体现。

带着这个疑问，再回头来检索资料。注意到了《吕氏春秋•音律篇》中这样

一段话：“黄钟、大吕、太蔟（cu）、夹钟、姑洗、仲吕、蕤（锐rui）宾为

上；林钟、夷则、南吕、无射（意yi）、应钟为下”。仔细看了一下，发现七律

在上，五律在下。对于这句话中的“上”“下”两个概念我初读时并没有仔细去理

解。这时带着疑问再来看这句话，就能品出其中的意味了。原来从黄钟生到蕤

宾，确实是黄钟，太蔟，姑洗，蕤宾是在上方纯五度的。所以按照这段话的意

思，蕤宾所生的大吕也确实是应该继续上生纯五度，也就是交换一下损益的方

向，得出类似于大小月交替的结果出来。怪不得古人会把律法和天文历法联系

到一起来，也许它们之间确实存在着某种自然界中固有的联系吧。

4旋相为宫

按照三分损益的方法生出十二律。通过计算，可以算出大吕和黄钟的频率比

是1.06787，而十二平均律计出来的大吕和黄钟的频率比是1.05946。可以

看出，三分损益得出的十二律比较接近于十二平均律了。

而按照三分损益的方式，到第十二个音仲吕，然后再向上方生纯五度，得到

一律，这个律的频率介于黄钟和大吕之间，它的频率和黄钟的频率比值为

1.01364，已经很接近黄种了。就这么周而复始地相生下去，可以发现，律越

生越多，每回生第13个音的时候都会越来越接近黄钟音，但是永远达不到。

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这样就出现了古代律法上所谓的“不能旋相为攻”。我们传统的律法研究也一直

沿着解决这个问题的方向发展着。直到十二平均律在全世界推广开来。

（二）五度相生律

1五度相生律的生律原理

所谓“五度相生律”，就是由一律出发，每隔纯五度产生一律，继续相生，而

得它律,最后再作八度移动，使它们回到同一个八度内。也就是假设从黄钟c音

开始，向上纯五度，即c音的频率乘以1.5倍（也就是三分损益法中三分损

一，管长和频率是倒数关系），得g音；再由g音频率乘以1.5倍,得d1音，

这个时候，因为频率由c音乘以两个1.5，也就是乘以2.25，也就是说，这生

成的第三个音已经超出c音为始的八度之外了。所以，这时应该用d1的频率

除以2，就得到d音。其余的音依次继续相生，超出八度之外就除以2。

可以看出，在由g音得出d音的过程中，g音的频率先乘以1.5，再除以

2，也就是乘以3/4（也就是三分损益法中的三分益一）。所以，这个时候，

三分损益法和五度相生律得出来的音是相同的。虽然他们表述的方式不一样，

但实际的结果和方向其实都是一样的。那么是不是就可以得出五度相生律和三

分损益法完全相同的结果？

2五度相生律的生律过程

上面那个问题显然应该是做否定的回答的。这就要从五度相生律在古代西方

的律学实践中来出其原因。

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五度相生律，最早由古希腊的哲学家及数学家毕达哥拉斯所提出，所以又叫

“毕达哥拉斯律制”。只不过，和毕达哥拉斯生活年代相近的中国和阿拉伯国

家，当时也都有相近似的律制，为了显示区别，才以五度相生律来命名。

和三分损益律以某音为始，只向上生律不同，五度相生律是可以向下生五度

律的。下生五度，也就是频率乘以2/3，即管长乘以1.5倍。例如以c1音为

始，下生五度得f，也就是c1音的频率乘以2/3，再乘以2得f1。那么f1和

c1的频率比就是4/3=1.33333。而我们从上文的三分损益法计算看，c1音

相生11次得到f1音，他们的频率比是177147/131072=1.35152。显然，

五度相生律下生的音和三分损益法得出来的音不一样。五度相生律下生纯五度

的音相当于三分损益法中的管长四分损一的结果。这就是五度相生律和三分损

益法最显著的区别。

五度相生律制并不复杂，也没有三分损益律中类似大小月的变化。它只是单

纯地向上生五度或者向下生五度，然后再拉回到同一个八度里。同样的，用五

度相生律上生或者下生12次后，第十三个音并没有回到起始音，这就给“十二

律周而复始”的理想带来了困难。因此，我觉得西方律制在此分成了两个方向，

一是类似于中国古律法中不断派生更多的音来达到回归，并进一步往妥协的十

二平均律方向上发展；二是随着复调音乐的兴起，和弦，多声部音乐得到发

展。而在这个方向上，中国的音乐并没有深入太多。

五度相生律的发展过程中，因为大量变音的出现，调式理论不断得到发展和

补充。下面以常见的五度律大音阶来举例。所谓五度律大音阶，就是在五度音

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列中，从主音c起，向上连取五律，向下取一律，可以构成一个音阶，这个音

阶就叫五度律大音阶，见下图：

图中可以看出，d1，e1，g1，a1，b1都是c1音向上五度所得，f1是c1向

下五度所得。这个音阶就是早期的七声音阶。从表中的音分值一栏，可以算出

相邻两个音的音差值：

可以明显看出，e和f，b和c之间是近似半音关系，其它的音之间是近似

全音关系，因为而十二平均律的全音音差为200，半音音差为100。通过五度

律得出的音，前一个音生半度并不等于后一个音降半度。关于音分的定义，以

及五度相生律和三分损益法与这之后的纯律，十二平均律之间的差异，希望后

续再进一步讨论。

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